Nemeuklideszi geometria

Matematika
A matematika alapjai
Halmazelmélet · Naiv halmazelmélet Axiomatikus halmazelmélet · Matematikai logika
Algebra
Elemi algebra · Lineáris algebra · Polinomok Absztrakt algebra · Csoportelmélet · Gyűrűelmélet · Testelmélet Mátrixok · Univerzális algebra
Analízis
Valós analízis · Komplex analízis · Vektoranalízis Differenciálegyenletek · Funkcionálanalízis Mértékelmélet
Geometria
Euklideszi geometria · Nemeuklideszi geometria Affin geometria · Projektív geometria Differenciálgeometria · Algebrai geometria Topológia
Számelmélet
Algebrai számelmélet · Analitikus számelmélet
Diszkrét matematika
Kombinatorika · Gráfelmélet · Játékelmélet Algoritmusok · Formális nyelvek Információelmélet
Alkalmazott matematika
Numerikus analízis · Valószínűségszámítás Statisztika · Káoszelmélet · Matematikai fizika Matematikai biológia · Gazdasági matematika Kriptográfia
Általános
Matematikusok · Matematikatörténet Matematikafilozófia · Portál
Sablon:Matematika m v sz

A geometriai rendszerek – geometriák – az alapozásban megfogalmazott premisszákban^[1] különböznek. Az euklideszi geometria axiómarendszerétől eltérő alapokra épített rendszereket közös néven nemeuklideszi geometriáknak nevezzük. Eleinte csak az elsőként felfedezett Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometriát illették az elnevezéssel, de később újabb geometriákat is találtak.

Az euklideszi párhuzamosság

Eukleidész az Elemek I. könyvében definiálja az egyenesek párhuzamosságát:

• 23. definíció: Két egyenes párhuzamos, ha azok egy síkban fekszenek és mindkét irányban meghosszabbítva nem metszik egymást.

Az évezredes problémát okozó 5. posztulátum pedig kimondja, hogy

• Ha egy egyenes úgy metsz két egyenest, hogy az egyik oldalán keletkező belső szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor e két egyenes a metszőnek ezen oldalán meghosszabbítva metszi egymást.

A nemeuklideszi párhuzamosság

Bolyai és Lobacsevszkij a párhuzamost egy külső pont körül forgatott szelők határhelyzeteként definiálják. Az ${\displaystyle AM}$ egyenesen kívül fekvő ${\displaystyle B}$ pont körül forgatott egyenesek közül az a ${\displaystyle BC}$ párhuzamos az ${\displaystyle AM}$-mel, amelyik elpattan tőle. Más fogalmazásban a forgatott egyenesek közül a párhuzamos az első nem metsző. Bolyai ezt a párhuzamost aszimptotikus párhuzamosnak, vagy egyszerűbben aszimptotának nevezte.^[2]

Mivel a forgatott egyenes egyre távolabb metszi az ${\displaystyle AM}$ egyenest, kísérlettel nem lehet eldönteni, hogy mikor, az ${\displaystyle \alpha }$ szög milyen értékénél következik be ez az elpattanás. A két kutató ezt a szöget a párhuzamosság szögének nevezte. Mindketten eljutottak annak felismeréséig, hogy a párhuzamossági szög a ${\displaystyle B}$ pont és az ${\displaystyle AM}$ egyenes közötti távolsággal összefüggésben van: ${\displaystyle \Pi (a)}$. Kettejük munkája között csupán annyi a lényeges különbség, hogy Lobacsevszkij a definíciót követően szétválasztja a két lehetséges esetet és az euklideszitől eltérő hiperbolikus geometria tételeit, míg Bolyai a két esetet együtt kezelve a kétféle geometria közös részét, az abszolút geometria tételeit dolgozta ki. Az az eredmény is közismert, hogy a háromszögek szögeinek összege is aszerint egyenlő vagy kisebb két derékszögnél, hogy a síkja euklideszi vagy hiperbolikus.

A hiperbolikus elnevezést a párhuzamos egyenes és a hiperbola rokonítása magyarázza. E geometriában a párhuzamosok közötti távolság csökken, aszimptotikusan közelednek egymáshoz. Ugyancsak fontos különbséget jelent, hogy a balra forgatott egyenes által meghatározott párhuzamos nem azonos a jobbra forgatottal. Ez ellentmond az idézett I.23. definíciónak.

Egy harmadik párhuzamosság

Az 5. posztulátum elhagyásával kapott maradék axiómákból következik (bizonyítható), hogy a párhuzamosság szöge nem lehet derékszögnél nagyobb, s ennek következménye, hogy a háromszögek szögeinek összege sem lehet két derékszögnél nagyobb. A paralellákkal foglalkozó Gerolamo Saccheri (1667–1733) és Johann Heinrich Lambert (1728–1777) eljutottak egy olyan felismerésig, hogy ezt a lehetőséget sem szabad elvetni. Meg kell vizsgálni olyan geometriai rendszerek lehetőségét is, amelyekben a szögösszeg nagyobb ${\displaystyle 2\pi }$-nél. Mivel ez a maradék axiómáknak ellentmond, további axiómá(ka)t kell megváltoztatni, elhagyni vagy másokkal helyettesíteni.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) két ilyen változtatás lehetőségét mutatta meg, s ezzel két újabb nemeuklideszi rendszert konstruált:

• 1. Egyszeres elliptikus geometria:

1/a. Az egyenes nem választja el egymástól a két félsík pontjait.

1/b. Két egyenesnek mindig van egy közös pontja.

• 2. Kétszeres elliptikus geometria:

2/0. Az egyenes elválasztja a két félsík pontjait.

2/b. Két egyenesnek pontosan két közös pontja van.

Az elliptikus geometria az euklideszi gömbfelületén érvényes szférikus geometriával rokon. A hiperbolikus geometria a pszeudoszféra felületi geometriájával modellezhető.

A három geometria összevetése

Felix Kleintől (1849–1925) származik a háromféle geometria és a kúpszeletek nomenklatúrájának összekapcsolása, mely ez utóbbiak ideális pontjainak száma és az egyeneshez külső pontból húzható párhuzamosok száma közötti analógiára utal. Ennek nyomán használjuk ezeket a jelzőket az Eukleidész (parabolikus), a Bolyai-Lobacsevszkij (hiperbolikus) és a Riemann (elliptikus) nevéhez kapcsolt geometriák megkülönböztetésére.

Az alábbiakban a három rendszerben érvényes néhány trigonometriai összefüggésből látható a különbség, de a rokonság is:

• 1. A síkháromszögek szinusztétele:

1.a. Euklideszi: ${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}}$.

1.b. Hiperbolikus: ${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\mathrm {sh} a}}={\frac {\sin \beta }{\mathrm {sh} b}}={\frac {\sin \gamma }{\mathrm {sh} c}}}$.

1.c. Elliptikus: ${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}}$.

• 2. A síkháromszögek koszinusztétele:

2.a. Euklideszi: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma =c^{2}}$.

2.b. Hiperbolikus: ${\displaystyle \mathrm {ch} a\cdot \mathrm {ch} b+\mathrm {sh} a\cdot \mathrm {sh} b\cdot \cos \gamma =\mathrm {ch} c}$.

2.c. Elliptikus: ${\displaystyle \cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma =\cos c}$.

(Az elliptikus tételek a gömbháromszögtan ismert összefüggései.)

Még több geometria

Arthur Cayley (1821-1895) korábbi kutatásaira támaszkodva Felix Klein hívta fel a figyelmet arra, hogy a három geometria az egyenesen három eltérő metrikát használ: (A. ábra)

• A parabolikus (euklideszi) metrika a szakaszok hosszát az egységhez (${\displaystyle OE}$) viszonyított arányukkal méri: ${\displaystyle d_{p}(AB)=AB:OE}$.
• Az elliptikus metrika a külső ${\displaystyle O}$ pontból induló egyenesek szögével méri a szakaszt: ${\displaystyle d_{e}(AB)=AOB\angle }$.
• A hiperbolikus metrika az ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ alappontokkal alkotott kettősviszonyt használja: ${\displaystyle d_{h}(AB)=k\cdot \ln(ABXY)}$.

A pontsor analógiájára definiálható a sugársorok metrikája, a szögmérés (B. ábra):

• Parabolikus metrika: ${\displaystyle \delta _{p}(ab)=AB}$. (A csúcsot elkerülő egyenesen levő metszet)
• Elliptikus metrika: ${\displaystyle \delta _{e}(ab)=ab\angle }$. (A "közönséges" szögmérték)
• Hiperbolikus metrika: ${\displaystyle \delta _{h}(ab)=k\cdot \ln(abxy)}$.

A síkban a lehetséges geometriák úgy adódnak, hogy választunk egy szakasz–metrikát és egy szög–metrikát, tehát 3´3 = 9 síkbeli geometriai rendszert konstruálhatunk. (A térben ezekhez még a lapszögek metrikáját kell csatolnunk, s ezzel 3´3´3 = 27-féle geometriai rendszert választhatunk.) A következő táblázat mutatja a lehetséges síkgeometriákat:

Ezeknek a síkgeometriáknak a "létezését" modellek segítségével lehet igazolni. Ezekben a modellekben az egyenesek és/vagy a pontok szerepét más alakzatok veszik át. A véges modellek használata vezetett a véges geometriák megalkotásához.

Jegyzetek

Kapcsolódó szócikkek

• projektív geometria

Források

• Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
• Bonola, Roberto: A nemeuklideszi geometria története – (inedita)[1]
• Reinhardt,F.-Soeder,H.: SH atlasz-Matematika, Springer-Verlag, Budapest-Berlin, 1993.
• Euklidesz: Elemek (Mayer Gyula ford.), Gondolat, 1983. http://mek.oszk.hu/00800/00857
• Bolyai János: Appendix, a tér tudománya (Akadémiai Kiadó, 1973)
• Lobacsevszkij, N.I.: Geometriai vizsgálatok …(Akadémiai Kiadó, 1951)
• Einstein, Albert: A speciális és általános relativitás elmélete (Gondolat, 1963)
• Ribnyikov, K.A.: A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968)
• Kerékjártó Béla: A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??)
• Jaglom, I.M.: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat,1985)
• Kerékjártó Béla: A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??)
• Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba (Akadémiai Kiadó, 1972)