Kettősviszony

A kettősviszony egy egyenes (pontsor) négy pontjára, illetve egy sugársor négy elemének kölcsönös elhelyezkedésére jellemző viszonyszám. A projektív geometria fontos alapfogalma: centrális vetítéskor a távolságok és a szögek változnak, a kettősviszony megmarad (invariáns). Ezt Papposz egyik fontos tétele biztosítja.

Értelmezése

Az A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} pontnégyes ( A B C D ) {\displaystyle (ABCD)} kettősviszonya az ( A B C ) {\displaystyle (ABC)} és ( A B D ) {\displaystyle (ABD)} egyszerű- vagy osztóviszonyok hányadosa (viszonya):

  • ( A B C D ) = ( A B C ) : ( A B D ) {\displaystyle ABCD)=(ABC):(ABD)}

A három pont viszonylagos helyzetét jellemző osztóviszonyt szakaszok hányadosa definiálja:

  • ( A B C ) = A C C B {\displaystyle (ABC)={\frac {AC}{CB}}} ,
  • ( A B D ) = A D D B {\displaystyle (ABD)={\frac {AD}{DB}}} .

A pontnégyes és a sugárnégyes kettősviszonya:

  • ( A B C D ) = A C C B : A D D B {\displaystyle (ABCD)={\frac {AC}{CB}}:{\frac {AD}{DB}}} ,

  • ( a b c d ) = sin ⁡ a c sin ⁡ c b : sin ⁡ a d sin ⁡ d b {\displaystyle (abcd)={\frac {\sin {ac}}{\sin {cb}}}:{\frac {\sin {ad}}{\sin {db}}}} .

A formulákban szereplő szakaszok és szögek irányítottak, előjelesek.

Néhány példa az osztóviszonyra:

( A B F ) = 3 : 3 = 1 {\displaystyle (ABF)=3:3=1} (felezőpont),

( A B G ) = 2 : 4 = 0 , 5 {\displaystyle (ABG)=2:4=0,5} (harmadoló pont, A-hoz közelebbi),

( A B H ) = 4 : 2 = 2 {\displaystyle (ABH)=4:2=2} (harmadoló pont, B-hez közelebbi),

( A B M ) = ( − 2 ) : 8 = − 0 , 25 {\displaystyle (ABM)=(-2):8=-0,25}

( A B N ) = 8 : ( − 2 ) = − 4 {\displaystyle (ABN)=8:(-2)=-4}

( A B B ) = 6 : 0 = + ∞ {\displaystyle (ABB)=6:0=+\infty }

( A A B ) = 6 : ( − 6 ) = − 1 {\displaystyle (AAB)=6:(-6)=-1}

( A B A ) = 0 : 6 = 0 {\displaystyle (ABA)=0:6=0}

Néhány példa a kettősviszonyra:

( A B F G ) = 1 : 0 , 5 = 2 {\displaystyle (ABFG)=1:0,5=2}

( A B G H ) = 0 , 5 : 2 = 0 , 25 {\displaystyle (ABGH)=0,5:2=0,25}

( A B G N ) = 0 , 5 : ( − 4 ) = − 0 , 125 {\displaystyle (ABGN)=0,5:(-4)=-0,125}

( A B F N ) = 1 : ( − 4 ) = − 0 , 25 {\displaystyle (ABFN)=1:(-4)=-0,25}

( A B H N ) = 2 : ( − 4 ) = − 0 , 5 {\displaystyle (ABHN)=2:(-4)=-0,5}

( A B N H ) = − 4 : 2 = − 2 {\displaystyle (ABNH)=-4:2=-2} .

Harmonikus négyes

Különös fontosságú az olyan pontnégyes, amelynek kettősviszonya ( A B X Y ) = − 1 {\displaystyle (ABXY)=-1} . Ez csak úgy lehet, hogy X és Y közül az egyik pont az AB szakaszon, másik azon kívül helyezkedik el, s az osztóviszonyokra pedig teljesül: ( A B X ) = − ( A B Y ) . {\displaystyle (ABX)=-(ABY).}

Papposz tétele

Ha az egy pontra illeszkedö a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} egyenesek egy, a közös pontjukra nem illeszkedő egyenest rendre az A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} pontokban metszenek, akkor ( A B C D ) = ( a b c d ) . {\displaystyle (ABCD)=(abcd).}

A tétel egyszerű következménye, hogy ha két egyenest metsz a sugársor, akkor az egyik egyenesen a metszéspontok kettősviszonya a másik egyeneseken keletkező vetületüknek a kettősviszonyával egyezik: ( A B C D ) = ( A ′ B ′ C ′ D ′ ) . {\displaystyle (ABCD)=(A'B'C'D').}

Hasonló összefüggés igazolható a közös egyenesre illeszkedő sugársorok négyeseire: ( a b c d ) = ( a ′ b ′ c ′ d ′ ) {\displaystyle (abcd)=(a'b'c'd')} .

Irodalom

  • Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.