Transformation en Z

Démonstration

Le théorème de la valeur initiale a une démonstration évidente : il suffit de poser ${\displaystyle y=z^{-1}}$ et de remplacer y par 0 dans l'expression de ${\displaystyle X(y^{-1})}$.

Pour le théorème de la valeur finale, on notera que le fait que ${\displaystyle \lim \nolimits _{n\rightarrow +\infty }x(n)}$ existe implique la suite ${\displaystyle (x(n))}$ est bornée et donc que le rayon de convergence ${\displaystyle \rho _{1}}$ de ${\displaystyle X(z)}$ est inférieur ou égal à 1. On a

${\displaystyle (z-1)X\left(z\right)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }S_{n}\left(z\right)}$

avec

${\displaystyle S_{n}\left(z\right)=x(0)z+\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x(i)-x(i-1)\right)z^{-i}}$

et cette suite de fonctions est uniformément convergente dans l'ouvert ${\displaystyle U=\left\{z\in \mathbb {C} :\left\vert z\right\vert >1\right\}}$. Le point 1 appartient à l'adhérence de U et pour ${\displaystyle z\rightarrow 1}$, ${\displaystyle S_{n}\left(z\right)}$ converge vers ${\displaystyle x(n)}$. D'après le « théorème de la double limite », on a donc

${\displaystyle \lim \limits _{z\rightarrow 1,\left\vert z\right\vert >1}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }S_{n}\left(z\right)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left(\lim \limits _{z\rightarrow 1,\left\vert z\right\vert >1}S_{n}\left(z\right)\right)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x\left(n\right).}$

Autres méthodes d'inversion

D'autres méthodes d'inversion pour passer de ${\displaystyle X(z)}$ à ${\displaystyle x(n)}$ sont : la lecture à l'envers de la table des transformées usuelles; l'application des règles de décalage, de combinaisons linéaires, de produit de convolution. En désespoir de cause, on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x(0) à x(k) qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Ou bien essayer de trouver un développement de Taylor ou Maclaurin de la fonction à inverser. Un cas particulier favorable se présente lorsque la fonction ${\displaystyle X(z)}$ est une fraction rationnelle. En effet lorsque :${\displaystyle X(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$ , P et Q étant deux polynômes en 1/z, on peut effectuer la division jusqu'au degré de précision souhaité, et l'on obtient directement les valeurs numériques des coefficients ${\displaystyle x(n)}$, n variant de 0 à m. En l'occurrence on adopte plutôt dans ce cas la notation ${\displaystyle H(z)={NUM(z)}/{DENOM(z)}\ }$. La raison en est que, pour les systèmes discrets ou échantillonnés, la fonction de transfert s'écrit h(n) et sa transformée en Z se présente souvent sous cette forme de quotient entre une sortie (en z) et une entrée (en z): ${\displaystyle H(z)={NUM(z)}/{DENOM(z)}\ }$. Un exemple concret pour illustrer cette démarche:

 

Quotient de polynômes en z, approximation numérique.

Attention, cette méthode est purement numérique, elle ne fournit pas l'expression analytique de la série inverse. Dans cet exemple, H(z) est le rapport de deux polynômes en 1/z. Le numérateur ressemble à la multiplication par 2 du dénominateur décalé de 1 période, mais on choisit des valeurs numériques un peu inexactes pour éviter un parfait quotient égal à 2/z.

• Le numérateur, de puissance 11, est une expression de la forme : ${\displaystyle \textstyle \scriptstyle NUM(z)=num_{0}+num_{1}(1/z)^{1}+num_{2}(1/z)^{2}+\cdots +num_{11}(1/z)^{11}}$ ${\displaystyle NUM(z)=0+0(1/z)^{1}+2,3\cdot (1/z)^{2}+4,22\cdot (1/z)^{3}+6,2\cdot (1/z)^{4}+8,21\cdot (1/z)^{5}+10,2\cdot (1/z)^{6}+12,2\cdot (1/z)^{7}+12,22\cdot (1/z)^{8}+12,4\cdot (1/z)^{9}+12,4\cdot (1/z)^{10}+12,4\cdot (1/z)^{11}.}$
• Le dénominateur, de puissance 10, est : ${\displaystyle DENOM(z)=0+1,1\cdot (1/z)^{1}+2,1\cdot (1/z)^{2}+3,1\cdot (1/z)^{3}+4,1\cdot (1/z)^{4}+5,1\cdot (1/z)^{5}+6,1\cdot (1/z)^{6}+6,1\cdot (1/z)^{7}+6,2\cdot (1/z)^{8}+6,2\cdot (1/z)^{9}+6,2\cdot (1/z)^{10}.}$
• Ici la division des polynômes ne « tombe pas juste », nous nous contentons d'une approximation du quotient Q(z), de la forme
  ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q_{n}(1/z)^{n}}$
  jusqu'à la puissance 10 :

${\displaystyle {\begin{matrix}Q(z)&=0+2,090909\cdot (1/z)^{1}-0,155372\cdot (1/z)^{2}+0,040421\cdot (1/z)^{3}+0,0309047\cdot (1/z)^{4}-0,015368\cdot (1/z)^{5}\\&+0,007694\cdot (1/z)^{6}+0,101526\cdot (1/z)^{7}-0,176646\cdot (1/z)^{8}+0,061258\cdot (1/z)^{9}+0,015904\cdot (1/z)^{10}.\end{matrix}}}$

• Le reste R(z) de cette division incomplète est :

${\displaystyle {\begin{matrix}R(z)&=0+0\cdot (1/z)^{1}+0\cdot (1/z)^{2}+0\cdot (1/z)^{3}+0\cdot (1/z)^{4}+0\cdot (1/z)^{5}+0\cdot (1/z)^{6}\\&+0\cdot (1/z)^{7}+0\cdot (1/z)^{8}+0\cdot (1/z)^{9}+0\cdot (1/z)^{10}+0\cdot (1/z)^{11}+0,550806\cdot (1/z)^{12}\\&-0,413006\cdot (1/z)^{13}-0,063683\cdot (1/z)^{14}+0,040876\cdot (1/z)^{15}-0,052647\cdot (1/z)^{16}\\&-0,011071\cdot (1/z)^{17}+0,616793\cdot (1/z)^{18}-0,478404\cdot (1/z)^{19}-0,098602(1/z)^{20}.\end{matrix}}}$

On peut vérifier sur un tableur ou à la main que ces polynômes répondent bien à la définition de la division euclidienne: H(z) = NUM(z)/DENOM(z)= Q(z)+ R(z)/DENOM(z). On suppose que le reste est négligeable par rapport aux coefficients du quotient. Les schémas de ces divers polynômes peuvent être visualisés sur un tableur comme suit.

Par curiosité on peut afficher la réponse impulsionnelle de l'approximation Q(z) de H(z). De même on peut afficher la réponse indicielle de Q(z) à un échelon de Heaviside.

Si nous nous contentions d'une approximation moins précise de H(z) par le quotient Q(z), de la forme

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q_{n}(1/z)^{n}}$

jusqu'à la puissance 5 par exemple : ${\displaystyle \textstyle \scriptstyle Q(z)=0+2,090909\cdot (1/z)^{1}-0,155372\cdot (1/z)^{2}+0,040421\cdot (1/z)^{3}+0,0309047\cdot (1/z)^{4}-0,015368\cdot (1/z)^{5}+0,}$ nous obtiendrions des courbes de réponse légèrement différentes, beaucoup moins précises (imprécision 6 fois plus forte environ). Le choix du degré d'approximation, autrement dit du meilleur compromis entre la précision et la lourdeur des calculs, est dicté par l'examen concret du problème spécifique que l'on traite.

 

Procédé par identification approximative des coefficients de X(z).

Pour passer de ${\displaystyle X(z)}$ à ${\displaystyle x(n)}$, si aucune méthode ne semble déboucher, en désespoir de cause on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x(0) à x(k) qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Exemple :

 

Utilisation des fractions rationnelles, exemple de la fonction de transfert de la suite de Fibonacci.

La série génératrice de la suite de Fibonacci est ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}X^{n}={\frac {X}{1-X-X^{2}}}}$ donc sa transformée en Z est

${\displaystyle F(z)={\frac {z}{z^{2}-z-1}}}$

Pour retrouver la formule de Binet, procédons à la transformation inverse. La méthode des fractions rationnelles peut être tentée. Le dénominateur possède deux pôles, ${\displaystyle z_{0}}$ et ${\displaystyle z_{1}}$ qui sont le nombre d'or :${\displaystyle z_{0}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$ et l'opposé de son inverse :${\displaystyle z_{1}=1-\varphi ={1-{\sqrt {5}} \over 2}}$. Pour les calculs rencontrés ci-dessous on se servira des propriétés suivantes de ${\displaystyle z_{0}}$ et ${\displaystyle z_{1}}$ : ${\displaystyle z_{0}-z_{1}=(2\cdot z_{0}-1)={\sqrt {5}}}$, et

${\displaystyle (z-z_{0})\cdot (z-z_{1})=z^{2}-z-1}$.

La fonction se décompose en fractions rationnelles élémentaires que l'on réécrit un peu :

${\displaystyle F(z)={\frac {z}{z^{2}-z-1}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left({\frac {z_{0}}{z-z_{0}}}-{\frac {z_{1}}{z-z_{1}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left(z_{0}\cdot {\frac {1}{z-z_{0}}}-z_{1}\cdot {\frac {1}{z-z_{1}}}\right)}$.

Une fraction du type ${\displaystyle 1/(z-z_{0})}$ peut se travailler ainsi :

${\displaystyle {\frac {1}{(z-z_{0})}}={\frac {z}{(z-z_{0})}}\cdot {\frac {1}{z}}}$

La première partie étant la transformée de la formule usuelle exponentielle , ${\displaystyle z_{0}^{n}}$, la seconde partie 1/z étant le retard pur d'un cran. Si bien que la transformée inverse de cette fraction élémentaire est ${\displaystyle z_{0}^{n-1}}$, en appliquant les règles de combinaisons linéaire nous calculons la suite cherchée :

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(z_{0}\cdot z_{0}^{n-1}-z_{1}\cdot z_{1}^{n-1}\right)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(z_{0}^{n}-z_{1}^{n}\right).}$

 

Démonstration

Soit ${\displaystyle p=\alpha +i\omega }$ appartenant à la bande de convergence de ${\displaystyle X_{e}(p)}$. Alors ${\displaystyle e^{-\alpha t}x_{e}(t)}$ (avec un nouvel abus d'écriture) appartient à ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }}$ et par définition ${\displaystyle X_{e}\left(p\right)={\mathcal {F}}\left(e^{-\alpha t}x_{e}\left(t\right)\right)\left(\omega \right)}$ où ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ désigne la transformée de Fourier. Soit ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}}$ où ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ est l'espace de Schwartz des fonctions déclinantes (dont ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }}$ est le dual). On a (toujours en écriture abusive)

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle X_{e}\left(\alpha +i\omega \right),\varphi \left(\omega \right)\right\rangle &=\left\langle x_{e}\left(t\right)e^{-\alpha t},({\mathcal {F}}\varphi )\left(t\right)\right\rangle \\&=\left\langle \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT\right)x\left(t\right)e^{-\alpha t},({\mathcal {F}}\varphi )\left(t\right)\right\rangle \\&=\left\langle \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }x\left(nT\right)e^{-n\alpha T}\delta \left(t-nT\right),({\mathcal {F}}\varphi )\left(t\right)\right\rangle \\&=\left\langle \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }x\left(nT\right)e^{-n\alpha T}({\mathcal {F}}\delta \left(t-nT\right)),\varphi \left(\omega \right)\right\rangle \\&=\left\langle \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }x\left(nT\right)e^{-n\alpha T}e^{-i\omega nT},\varphi \left(\omega \right)\right\rangle \\&=\left\langle \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }x\left(nT\right)e^{-n(\alpha +i\omega )T},\varphi \left(\omega \right)\right\rangle \end{aligned}}}$

et par conséquent^[5]

${\displaystyle X_{e}(p)=X\left(z\right)\left\vert _{z=e^{pT}}\right.}$.

Les égalités ci-dessus sont valides car dans chaque crochet de dualité, on a à gauche une distribution tempérée et à droite une fonction déclinante ; par suite, la substitution ${\displaystyle p\mapsto z=e^{pT}}$ envoie la bande de convergence ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}}$ de ${\displaystyle X_{e}(p)}$ du signal échantillonné ${\displaystyle x_{e}}$ dans la couronne de convergence ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}}$ de ${\displaystyle X(z)}$.

Réciproquement, soit la suite de terme général ${\displaystyle x\left[n\right]}$ ; posons ${\displaystyle x_{\alpha }\left[n\right]=x\left[n\right]e^{-\alpha nT}}$ et ${\displaystyle p=\alpha +i\omega }$. Le nombre complexe ${\displaystyle z=e^{pT}}$ appartient à ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}}$ si, et seulement si la suite de terme général ${\displaystyle x_{\alpha }\left[n\right]}$ appartient à l'espace ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\prime }}$ des « suites à croissance lente » (i.e. des suites a pour lesquelles il existe un entier ${\displaystyle k>0}$ tel que ${\displaystyle a\left[n\right]=O(n^{k})}$ pour ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$^[6]. La transformée de Fourier d'une telle suite est la distribution ${\displaystyle 2\pi /T}$-périodique

${\displaystyle ({\mathcal {F}}a)\left(\omega \right)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }a\left[n\right]e^{-in\omega T}}$.

Associons à la suite a la distribution ${\displaystyle {\underline {a}}}$ définie (en notation abusive) par

${\displaystyle {\underline {a}}\left(t\right)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }a\left[n\right]\delta \left(t-nT\right)}$.

L'application ${\displaystyle a\mapsto {\underline {a}}}$ est un monomorphisme de ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\prime }}$ dans l'espace des distributions tempérées ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }}$^[7] et la transformation de Fourier est un automorphisme de ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }}$. On obtient alors (toujours en notation abusive)

${\displaystyle ({\mathcal {F}}a)\left(\omega \right)={\underline {a}}\left(t\right)e^{-i\omega t}}$.

Ce qui précède montre que

${\displaystyle \left\langle X_{e}\left(\alpha +i\omega \right),\varphi \left(\omega \right)\right\rangle =\left\langle ({\mathcal {F}}{\underline {x_{\alpha }}})\left(\omega \right),\varphi \left(\omega \right)\right\rangle .}$

Récapitulons : si ${\displaystyle z\in {\mathcal {C}}_{c}}$, alors ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\left[n\right]\right)\in \mathbf {s} ^{\prime }}$, donc ${\displaystyle {\underline {x_{\alpha }}}\in {\mathcal {S}}^{\prime }}$, donc ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\underline {x_{\alpha }}}\in {\mathcal {S}}^{\prime }}$, donc (notation abusive) ${\displaystyle X_{e}\left(\alpha +i\omega \right)\in {\mathcal {S}}^{\prime }}$, donc ${\displaystyle p\in {\mathcal {B}}_{c}}$. On a donc montré que la correspondance ${\displaystyle p\mapsto z=e^{pT}}$ est une surjection de ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}}$.