Tétrakihexaèdre

Tétrakihexaèdre

Éléments

Faces	Arêtes	Sommets
24 triangles isocèles	36	14 de degré 4 et 6

Données clés

Type	Solide de Catalan
Caractéristique	2
Propriétés	Convexe, uniformité des faces
Groupe de symétrie	Octaédrique
Dual	Octaèdre tronqué

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Un tétrakihexaèdre est un solide de Catalan (le dual d'un solide d'Archimède). Son dual est l'octaèdre tronqué.

Il peut être vu comme un cube dont chaque face (de côté a) est couverte par une pyramide carrée (de hauteur a/4). Cette interprétation est exprimée dans le nom, d'origine grecque : εξάεδρο / exáedro = « hexaèdre » (six faces) = cube, τετράκις / tetrákis = « quatre fois » = faces partagées en 4).

Longueurs, surface et volume

Le rapport entre les longueurs des deux types d'arêtes est de 3/4.

Si la grande arête (celle du squelette cubique) a pour longueur a :

Son volume vaut :

${\displaystyle V={\frac {3}{2}}\ a^{3}.}$

Sa surface vaut :

${\displaystyle A=3{\sqrt {5}}\ a^{2}\approx 6{,}708\ a^{2}.}$

Si l'on agrandit les pyramides de telle sorte que tous les triangles deviennent équilatéraux, le polyèdre devient un solide de Johnson ; il n'est plus convexe ni inscriptible dans une sphère. Toutes ses arêtes sont alors de longueur a.

Le volume devient :

${\displaystyle V=\left(1+{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 2{,}4142\ a^{3}.}$

La surface devient :

${\displaystyle A=6{\sqrt {3}}\ a^{2}\approx 10{,}3923\ a^{2}.}$

Applications humaines et naturelles

Des dés polyédriques ayant la forme de tétrakihexaèdres sont occasionnellement utilisés par des joueurs.

Des formations cristallines naturelles de tétrakihexaèdres sont observées dans le cuivre et la fluorine.

Références

• Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979, (ISBN 0-486-23729-X)
• Sur le site Mathworld

Voir aussi

Articles connexes

• Pentakidodécaèdre

Liens externes

• (en) Les polyèdres uniformes
• (en) Les polyèdres en réalité virtuelle L'encyclopédie des Polyèdres.
• (en) Patrons en papier de polyèdres

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