Suite de Sheffer

En mathématiques, et plus précisément en analyse combinatoire, une suite de Sheffer, nommée d'après Isador M. Sheffer, est une suite de polynômes satisfaisant à des conditions permettant le calcul ombral.

Définition

Soit pn une suite de polynômes (de variable x) telle que deg(pn) = n. On définit un opérateur linéaire Q par : Q pn(x) = npn–1(x) ; la famille des pn étant une base, ceci définit Q pour tous les polynômes.

La suite pn est une suite de Sheffer si Q est « invariant par translation », c'est-à-dire si f (x) = g(x + a) (pour tout x) entraîne (Qf)(x) = (Qg)(x + a), autrement dit si Q commute avec tous les opérateurs de translation (on dit qu'un tel Q est un delta opérateur (en)).

Propriétés

L'ensemble des suites de Sheffer est un groupe pour l'opération de composition ombrale[réf. souhaitée], définie de la manière suivante : soit { pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } et { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } deux suites polynomiales, avec

p n ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k x k   et   q n ( x ) = ∑ k = 0 n b n , k x k . {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{et}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}

Alors leur composé ombral p ∘ q {\displaystyle p\circ q} est la suite polynomiale dont le n-ème terme est

( p ∘ q ) n ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k q k ( x ) = ∑ 0 ≤ ℓ ≤ k ≤ n a n , k b k , ℓ x ℓ {\displaystyle (p\circ q)_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }} .

L'élément neutre de ce groupe est la base canonique des monômes e n ( x ) = x n = ∑ k = 0 n δ n , k x k {\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}} (où δ {\displaystyle \delta } est le symbole de Kronecker).

Deux sous-groupes importants sont celui des suites d'Appell (contenant par exemple les polynômes d'Appell), pour lesquelles l'opérateur Q est la différentiation usuelle, et celui des suites de type binomial, qui sont celles vérifiant l'identité

p n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p k ( x ) p n − k ( y ) . {\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).}

Une suite de Sheffer { pn(x): n = 0, 1, 2, ... } est de type binomial si et seulement si p 0 ( x ) = 1 {\displaystyle p_{0}(x)=1\,} et p n ( 0 ) = 0  pour  n ≥ 1. {\displaystyle p_{n}(0)=0{\mbox{ pour }}n\geq 1.\,}

Le groupe des suites d'Appell est abélien, et c'est un sous-groupe normal ; le groupe des suites de type binomial n'est ni abélien, ni normal. Le groupe des suites de Sheffer est le produit semi-direct de ces deux sous-groupes ; il en résulte que chaque classe de suites de Sheffer suivant le groupe des suites d'Appell contient exactement une suite de type binomial. Si sn(x) est une suite de Sheffer et pn(x) est la suite de type binomial dans la même classe, alors

s n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p k ( x ) s n − k ( y ) . {\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{n-k}(y).}

En particulier, si { sn(x) } est une suite d'Appell,

s n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) x k s n − k ( y ) . {\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{n-k}(y).}

Les suites des polynômes d'Hermite et des polynômes de Bernoulli sont des exemples de suites d'Appell.

Une suite de Sheffer pn est caractérisée par sa série génératrice exponentielle

∑ n = 0 ∞ p n ( x ) n ! t n = A ( t ) exp ⁡ ( x B ( t ) ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))\,}

où A et B sont des séries formelles de puissances de t. Les suites de Sheffer sont ainsi des exemples de polynômes d'Appell généralisés et satisfont par conséquent à une relation de récurrence associée.

Exemples

Parmi les suites de polynômes qui sont des suites de Sheffer, on trouve la suite des monômes ( x n ) {\displaystyle (x^{n})} , mais aussi :

ainsi que les polynômes de Mahler, les polynômes de Mott, etc.

Voir aussi

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sheffer sequence » (voir la liste des auteurs).
  • (en) G.-C. Rota, P. Doubilet, C. Greene, D. Kahaner, A. Odlyzko and R. Stanley, Finite Operator Calculus, Academic Press, (ISBN 0-12-596650-4)
  • (en) I. M. Sheffer, « Some Properties of Polynomial Sets of Type Zero », Duke Mathematical Journal, vol. 5,‎ , p. 590–622 (DOI 10.1215/S0012-7094-39-00549-1)
  • (en) Steven Roman, The Umbral Calculus, Academic Press Inc. Harcourt Brace Jovanovich Publishers, , 193 p. (ISBN 978-0-12-594380-2, MR 741185 Reprinted by Dover, 2005, lire en ligne)

Liens externes


  • icône décorative Portail des mathématiques