Polynôme d'Appell généralisé

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En mathématiques, une suite de polynômes ${\displaystyle (p_{n}(z))_{n\in \mathbb {N} }}$ possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme :

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

où la fonction génératrice ${\displaystyle K(z,w)}$ est composée des séries :

• ${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}}$ avec ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ ;
• ${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}$ avec tous les ${\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}$ ;
• ${\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}}$ avec ${\displaystyle g_{1}\neq 0}$.

Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que ${\displaystyle p_{n}(z)}$ est polynôme de degré ${\displaystyle n}$.

Cas particuliers

• Le choix de ${\displaystyle g(w)=w}$ donne la classe des polynômes de Brenke.
• Le choix de ${\displaystyle \Psi (t)=\operatorname {e} ^{t}}$ donne la suite des polynômes de Sheffer.
• Le choix simultané de ${\displaystyle g(w)=w}$ et de ${\displaystyle \Psi (t)=\operatorname {e} ^{t}}$ donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.

Représentation explicite

Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}}$.

Le coefficient ${\displaystyle h_{k}}$ est

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\ldots g_{j_{k}}}$

où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n.

Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient :

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}}$.

Relations de récurrence

De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau ${\displaystyle K(z,w)}$ puisse être écrit comme ${\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}$ avec ${\displaystyle g_{1}=1}$ est que

${\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}$

où ${\displaystyle b(w)}$ et ${\displaystyle c(w)}$ ont un développement en série

${\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}$

et

${\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}}$.

En faisant la substitution

${\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$,

il vient immédiatement la relation de récurrence :

${\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z)}$.

Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a ${\displaystyle g(w)=w}$ et donc tous les ${\displaystyle b_{n}}$ sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.

Crédit d'auteurs

Bibliographie

• (en) Ralph P. Boas, Jr. et R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions, New York/Berlin, Academic Press/Springer-Verlag, 1964, 2^e éd.
• (en) William C. Brenke, « On generating functions of polynomial systems », Amer. Math. Month., vol. 52,‎ 1945, p. 297-301
• (en) W. N. Huff, « The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) », Duke Math. J., vol. 14,‎ 1947, p. 1091-1104

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