Loi du χ non centrée

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Loi du ${\displaystyle \chi }$ non centrée
Paramètres	${\displaystyle k\in \{1,2,\dots \}\,}$ (degrés de liberté) ${\displaystyle \lambda >0\,}$
Support	${\displaystyle x\in [0;+\infty [\,}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)}$
Espérance	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)\,}$
Variance	${\displaystyle k+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\,}$
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi du ${\displaystyle \chi }$ non centrée est une généralisation la loi du χ. Si ${\displaystyle \scriptstyle X_{i},\,i=1,\dots ,k}$, sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes et écart-type respectifs ${\displaystyle \scriptstyle \mu _{i},\,i=1,\dots ,k}$ et ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{i},i=1,\dots ,k}$, alors

${\displaystyle X={\sqrt {\sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

est une variable aléatoire de loi du ${\displaystyle \chi }$ non centrée. Cette loi a deux parametres : un entier ${\displaystyle k}$ qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de variables ${\displaystyle X_{i}}$), et un réel ${\displaystyle \lambda >0}$ relatif à la moyenne des variables ${\displaystyle X_{i}}$ par la formule :

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\sum _{1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

On dira que X suit une loi du χ non centrée avec k degrés de liberté et de paramètre λ, on notera ${\displaystyle X\sim NC\chi _{k}(\lambda )}$

Propriétés

La densité de probabilité est donnée par :

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)}$

où ${\displaystyle I_{\nu }(z)}$ est la fonction de Bessel modifiée de première espèce.

Les premiers moments sont :

${\displaystyle \mu '_{1}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mu '_{2}=k+\lambda ^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{3}=3{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{3/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mu '_{4}=(k+\lambda ^{2})^{2}+2(k+2\lambda ^{2})}$

où ${\displaystyle L_{n}^{(a)}(z)}$ est le polynôme de Laguerre généralisé. Il est à remarquer que le deuxième moment est le même que le n-ième moment de la loi du χ² non centrée où le paramètre ${\displaystyle \lambda }$ est remplacé par ${\displaystyle \lambda ^{2}}$.

Liens avec d'autres lois

• Si ${\displaystyle X}$ est une variable aléatoire de loi du χ² non centrée, alors la variable aléatoire ${\displaystyle X^{2}}$ est une variable aléatoire de loi du χ non centrée.
• Si ${\displaystyle X}$ est de loi du χ, ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$, alors ${\displaystyle X}$ est également de loi du χ non centrée : ${\displaystyle X\sim NC\chi _{k}(0)}$. En d'autres termes, la loi du χ est un cas particulier de la loi du χ non centrée avec le paramètre ${\displaystyle \lambda =0}$.
• La loi du χ non centrée à deux degrés de liberté est similaire à la loi de Rice avec ${\displaystyle \sigma =1}$.
• Si X suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et le paramètre λ, alors σX suit une loi normale repliée avec paramètres σλ et σ² pour toute valeur de σ.

Différentes lois du ${\displaystyle \chi }$ et ${\displaystyle \chi ^{2}}$

Lois	en fonction de variables de loi normale
loi du χ²	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
loi du χ² non centrée	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
loi du χ	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
loi du χ non centrée	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Notes et références

• Portail des probabilités et de la statistique