Distribució khi no central

Distribució khi no central

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució khi no central ^[1] és una generalització no central de la distribució khi. També es coneix com a distribució de Rayleigh generalitzada.^[2]

Definició

Si ${\displaystyle X_{i}}$ són k variables aleatòries independents, distribuïdes normalment amb mitjanes ${\displaystyle \mu _{i}}$ i variancia ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$, després l'estadística^[3]

${\displaystyle Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

es distribueix segons la distribució de khi no central. La distribució de khi no central té dos paràmetres: ${\displaystyle k}$ que especifica el nombre de graus de llibertat (és a dir, el nombre de ${\displaystyle X_{i}}$), i ${\displaystyle \lambda }$ que es relaciona amb la mitjana de les variables aleatòries ${\displaystyle X_{i}}$ per:

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Propietats ^[4]

Funció de densitat de probabilitat

La funció de densitat de probabilitat (pdf) és

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)}$

on ${\displaystyle I_{\nu }(z)}$ és una funció de Bessel modificada del primer tipus.

Referències