En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució beta prima (també coneguda com la distribució beta invertida, distribució beta de segona classe o distribució beta II) es una distribució de probabilitat absolutament contínua definida per
amb dos paràmetres, α i β, que té la funció de densitat de probabilitat:
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6b6233eb24f3bf00977e2e6b3670e9d860c232)
on B és la funció beta.
La funció de distribució acumulada (FD) és
![{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38285fb9c37e5ab4e4264fe836ee9a752735ca2)
on I és la funció beta incompleta regularitzada.
El valor esperat, la variància i altres detalls de la distribució es donen en la taula de la dreta; per
, l'excés de curtosi és
.
Si bé la distribució beta relacionada és la distribució a prior conjugada del paràmetre d'una distribució de Bernoulli s'expressa com una probabilitat, la distribució de beta prima és la distribució a prior conjugada del paràmetre d'una distribució de Bernoulli expressada en oportunitats. La distribució és una distribució de Pearson de tipus VI.
La moda d'una variable aleatòria X distribuïda com
és
.
La seva mitjana és
si
(si
, la mitjana és infinita, és a dir que no té ben definida la mitjana).
La seva variància és
si
.
Per
, el k-è moment
està donat per
![{\displaystyle E[X^{k}]={\frac {B(\alpha +k,\beta -k)}{B(\alpha ,\beta )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c6530cfd83409026129cc40968169281f41081)
Per
amb
queda simplificat a
![{\displaystyle E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f1689a0ef95460a83f9f53462da32a9b1e8f04)
La funció de distribució acumulada també es pot escriure
![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\alpha }\cdot _{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff0e6df3d2d2da3ae64c1ccbdf2c3fc26f2e2c6)
on
és la funció hipergeomètrica de Gauss ₂F1 .
La seva equació diferencial és:
![{\displaystyle \left(x^{2}+x\right)f'(x)+f(x)(-\alpha +\beta x+x+1)=0,\qquad f(1)={\frac {2^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964fbae1d42d56ca7b8749794a7a0bd19b678cf3)
Generalització
Es poden afegir dos paràmetres més per a formar la distribució beta prima generalitzada.
forma (real)
escala (real)
que té la funció de densitat de probabilitat
![{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p{\left({\frac {x}{q}}\right)}^{\alpha p-1}\left({1+{\left({\frac {x}{q}}\right)}^{p}}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488f22d728954729b76493563f32e9fa80bc4b20)
amb mitjana
![{\displaystyle {\frac {q\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{p}})\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{si }}\beta p>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d64721f8455e6da687b3face030cc6edacc35c)
i moda
![{\displaystyle q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{si }}\alpha p\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7942760d7c899b1964809950a6cf021c4bcb45e6)
Si una variable aleatòria X segueix una distribució beta prima generalitzada, s'anotarà
.
Si p=q=1, llavors la distribució beta prima generalitzada és igual a la distribució beta prima estàndard.
La distribució gamma composta
La distribució gamma composta és la generalització de la distribució beta prima quan el paràmetre d'escala q, s'afegeix, però on p = 1. Es diu així perquè està format per la combinació de dues distribucions gamma:
![{\displaystyle \beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,p)G(p;\beta ,q)\;dp}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d340f578bfe70a080de772b4e11df5f25adc84b)
on G(x;a,b) és la distribució gamma amb una forma i escala inversa b. Aquesta relació es pot utilitzar per generar variables aleatòries amb una distribució gama composta o amb una distribució beta prima.
La moda, la mitjana i la variància de la distribució gama composta poden ser obtingudes multiplicant la moda i la mitjana que apareixen a la taula del principi per q i la variància per q².
Propietats
- Si
llavors
. - Si
llavors
. ![{\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a97057eff9376f94c89707d1e3bce0e0067b318)
Distribucions relacionades i propietats
- Si
, llavors
, o de forma equivalent, ![{\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91610cc4f7ff3d58b53d23b28136126f39a85454)
- Si
, llavors ![{\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eef419e4b2d0d55e805018bc9cd69307c9bb0ad)
- Si
i
són independents, llavors
. - Parametrització 1: Si
són independents, llavors ![{\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f581d54fe69c033438a8f041a2e0721e31517ba)
- Parametrització 2: Si
són independents, llavors ![{\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59418b1850acff2004e0ed6b67ec27a16de1b743)
és la distribució de Dagum.
és la distribució de Singh-Maddala.
és la distribució log-logística. - La distribució beta prima és un cas especial de la distribució de Pearson de tipus VI.
- La distribució de Pareto de tipus II està relacionada amb la distribució beta prima.
- La distribució de Pareto de tipus IV està relacionada amb la distribució beta prima.
- La distribució de Dirichlet invertida és una generalització de la distribució beta prima.
Referències
Bibliografia
- Dubey, Satya D. Compound gamma, beta and F distributions (vol. 16) (en anglès). Metrika, 1970. DOI 10.1007/BF02613934.
- Jonhnson, N.L; Kotz, S. Continuous Univariate Distributions (vol. 2) (en anglès), 1995. ISBN 0-471-58494-0.
Enllaços externs
- Distribució beta prima, en MathWorld. (anglès)
|
---|
|
Distribucions discretes amb suport finit | |
---|
Distribucions discretes amb suport infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades en tota la recta real | |
---|
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus | |
---|
Barreja de distribució variable-contínua | |
---|
Distribució conjunta | |
---|
Direccionals | |
---|
Degenerada i singular | |
---|
Famílies | |
---|