Không gian đối ngẫu (không gian liên hiệp)

Cho X là một không gian định chuẩn. Không gian liên hiệp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X, ký hiệu X* là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.

Với định nghĩa trên, ta có thể kiểm chứng được rằng X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường. Ngoài ra, với mỗi phần tử f thuộc X*, đặt ${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X,\|x\|=1}|f(x)|}$ thì X* trở thành một không gian định chuẩn. Hơn nữa X* còn là không gian Banach.

Vì X* là một không gian định chuẩn nên đến lượt nó cũng có không gian liên hiệp, ký hiệu X** =(X*)* và ta còn gọi X** là không gian đối ngẫu (hay không gian liên hiệp) thứ hai của X.

Về mặt không gian định chuẩn, mối liên hệ giữa X và X* không rõ ràng lắm, trừ trường hợp X có số chiều hữu hạn. Tuy nhiên, mối liên hệ giữa X và X** chặt chẽ hơn: X được xem như là một không gian định chuẩn con của X**. Vì vậy mỗi phần tử x của X, ngoài bản chất là một vectơ thông thường, nó còn là một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên không gian "lớn hơn" là X*, theo công thức ${\displaystyle x\in X\Rightarrow x\in X^{**}:\ x(f):=f(x),\ \forall f\in X^{*}.}$. Nếu X=X** thì không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ.

Bằng cách tương tự, ta có thể định nghĩa không gian đối ngẫu thứ ba, thứ tư,... thứ n của một không gian định chuẩn.

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s

Tham khảo