Chuỗi lũy thừa hình thức

Giải tích toán học → Giải tích phức
Giải tích phức
Số phức
Hàm số phức
Lý thuyết cơ bản
Nhân vật
  • Augustin-Louis Cauchy
  • Leonhard Euler
  • Carl Friedrich Gauss
  • Jacques Hadamard
  • Bernhard Riemann
  • Karl Weierstrass
  •  Cổng thông tin Toán học
  • x
  • t
  • s

Trong toán học, một chuỗi lũy thừa hình thức là một sự khái quát của đa thức, trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến X với hệ số trong vành giao hoán R được ký hiệu là R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} .

Cấu trúc vành

Một phần tử của R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} có thể được coi như một phần tử của R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} . Ta định nghĩa phép cộng

( a n ) n ∈ N + ( b n ) n ∈ N = ( a n + b n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}

và phép nhân

( a n ) n ∈ N × ( b n ) n ∈ N = ( ∑ k = 0 n a k b n − k ) n ∈ N . {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}

Phép nhân này khác với phép nhân từng số hạng. Nó được gọi là tích Cauchy của hai chuỗi hệ số, và là một loại tích chập rời rạc. Với các phép toán này, R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} trở thành một vành giao hoán với phần tử không ( 0 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle (0,0,0,\ldots )} và đơn vị ( 1 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle (1,0,0,\ldots )} .

Cấu trúc tô pô

Theo qui ước

( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , … ) = ∑ i = 0 ∞ a i X i , ( 1 ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)}

một cấu trúc tô-pô trên vành các chuỗi lũy thừa hình thức được xác định bởi một cấu trúc tô-pô trên R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} . Có nhiều định nghĩa tương đương.

  • Chúng ta có thể gán cho R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} tô pô tích, với mỗi bản sao của R {\displaystyle R} mang tô pô rời rạc.
  • Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ metric sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt ( a n ) , ( b n ) ∈ R N , {\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },} được định nghĩa là
d ( ( a n ) , ( b n ) ) = 2 − k , {\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}
với k {\displaystyle k} là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho a k ≠ b k {\displaystyle a_{k}\neq b_{k}} .

Ví dụ

Lưu ý rằng trong R [ [ X ] ] {\displaystyle \mathbb {R} [[X]]} giới hạn

lim n → ∞ ( 1 + X n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}}

không tồn tại, vì vậy, nó không hội tụ tới

exp ⁡ ( X )   =   ∑ n ∈ N X n n ! . {\displaystyle \exp(X)\ =\ \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.}

Các phép toán khác

Lũy thừa

Với một số tự nhiên n ta có

( ∑ k = 0 ∞ a k X k ) n = ∑ m = 0 ∞ c m X m , {\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}

trong đó

c 0 = a 0 n , c m = 1 m a 0 ∑ k = 1 m ( k n − m + k ) a k c m − k ,       m ≥ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}

Nghịch đảo

Chuỗi

A = ∑ n = 0 ∞ a n X n ∈ R [ [ X ] ] {\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}

là khả nghịch trong R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} hệ số hằng a 0 {\displaystyle a_{0}} là khả nghịch. Chuỗi nghịch đảo B {\displaystyle B} có thể được tính qua công thức đệ quy tường minh

b 0 = 1 a 0 , b n = − 1 a 0 ∑ i = 1 n a i b n − i ,       n ≥ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}

Một trường hợp đặc biệt là công thức chuỗi cấp số nhân được thỏa mãn trong R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} :

( 1 − X ) − 1 = ∑ n = 0 ∞ X n . {\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}

Hợp

Cho hai chuỗi lũy thừa hình thức

f ( X ) = ∑ n = 1 ∞ a n X n = a 1 X + a 2 X 2 + ⋯ {\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }
g ( X ) = ∑ n = 0 ∞ b n X n = b 0 + b 1 X + b 2 X 2 + ⋯ , {\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots ,}

ta có thể định nghĩa phép hợp

g ( f ( X ) ) = ∑ n = 0 ∞ b n ( f ( X ) ) n = ∑ n = 0 ∞ c n X n , {\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}

với

c n := ∑ k ∈ N , | j | = n b k a j 1 a j 2 ⋯ a j k . {\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}

Tổng này được lấy trên tất cả các cặp (k,j) với k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } và j ∈ N + k {\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}} sao cho | j | := j 1 + ⋯ + j k = n . {\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}

Đạo hàm hình thức

Cho một chuỗi lũy thừa hình thức

f = ∑ n ≥ 0 a n X n ∈ R [ [ X ] ] , {\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}

ta có thể xác định đạo hàm hình thức của nó, ký hiệu là Df hoặc f' , bởi

D f = f ′ = ∑ n ≥ 1 a n n X n − 1 . {\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}

Tính chất

Tính chất đại số của vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Tính chất tô pô

Không gian metric ( R [ [ X ] ] , d ) {\displaystyle (R[[X]],d)} là hoàn chỉnh

Vành R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} là compact khi và chỉ khi R là hữu hạn.

Tham khảo

  • Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007.
  • Nicolas Bourbaki: Đại số, IV, §4. Springer-Verlag 1988.

Đọc thêm

  • W. Kuich. Springer, Berlin, 1997, ISBN 3-540-60420-0
  • Droste, M., & Kuich, W. (2009). doi:10.1007/978-3-642-01492-5_1