Digama fonksiyonu

kompleks düzlem'de ψ ( s ) {\displaystyle \psi (s)} Digama fonksiyonu renkli bir s {\displaystyle s} noktasına karşı kodlanan değer ψ ( s ) {\displaystyle \psi (s)} . Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir.

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

ψ ( x ) = d d x ln ⁡ Γ ( x ) = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) . {\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya ϝ {\displaystyle \digamma } (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

ψ ( n ) = H n − 1 − γ {\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}

Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tam sayı değerleri için, açılım

ψ ( n + 1 2 ) = − γ − 2 ln ⁡ 2 + ∑ k = 1 n 2 2 k − 1 {\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}

Integral Gösterimleri

integral gösterimi

ψ ( x ) = ∫ 0 ∞ ( e − t t − e − x t 1 − e − t ) d t {\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt} şeklindedir.
x {\displaystyle x} reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz
ψ ( s + 1 ) = − γ + ∫ 0 1 1 − x s 1 − x d x {\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü

Digamma negatif tam sayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

ψ ( z + 1 ) = − γ + ∑ n = 1 ∞ ( z n ( n + z ) ) , z ≠ − 1 , − 2 , − 3 , . . . {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),z\neq -1,-2,-3,...}

Taylor serisi

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir, . Burada

ψ ( z + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ζ ( k + 1 ) ( − z ) k {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}} ,

yakınsaklık için |z|<1. Burada, ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi

Digama için Newton serisi Euler integral formülü ile :

ψ ( s + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k ( s k ) {\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}}

Burada ( s k ) {\displaystyle \textstyle {s \choose k}} binom katsayısı'dır.

Refleksiyon formülü

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

ψ ( 1 − x ) − ψ ( x ) = π cot ⁡ ( π x ) {\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}}

Özyineleme formülü

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

ψ ( x + 1 ) = ψ ( x ) + 1 x {\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir, bu nedenle

Δ [ ψ ] ( x ) = 1 x {\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

ψ ( n )   =   H n − 1 − γ {\displaystyle \psi (n)\ =\ H_{n-1}-\gamma }

burada γ {\displaystyle \gamma \,} Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

ψ ( x + 1 ) = − γ + ∑ k = 1 ∞ ( 1 k − 1 x + k ) {\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)}

Gauss toplamı

Digama'nın Gaussian toplam formu

− 1 π k ∑ n = 1 k sin ⁡ ( 2 π n m k ) ψ ( n k ) = ζ ( 0 , m k ) = − B 1 ( m k ) = 1 2 − m k {\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}} şeklindedir.

Tam sayılar için 0 < m < k {\displaystyle 0<m<k} . Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

∑ n = 1 k ψ ( n k ) = − k ( γ + log ⁡ k ) , {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=-k(\gamma +\log k),}

ve genelleştirilmiş şekli

∑ p = 0 q − 1 ψ ( a + p / q ) = q ( ψ ( q a ) − ln ⁡ ( q ) ) , {\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\psi (a+p/q)=q(\psi (qa)-\ln(q)),}

Burada q 'nun doğal sayı ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi

Pozitif tam sayılar m ve k (m < k) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

ψ ( m k ) = − γ − ln ⁡ ( 2 k ) − π 2 cot ⁡ ( m π k ) + 2 ∑ n = 1 ⌈ ( k − 1 ) / 2 ⌉ cos ⁡ ( 2 π n m k ) ln ⁡ ( sin ⁡ ( n π k ) ) {\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)\right)}

Hesaplama & yaklaşıklık

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

ψ ( x ) = l n ( x ) − 1 2 x − 1 12 x 2 + 1 120 x 4 − 1 252 x 6 + O ( 1 x 8 ) {\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+O\left({\frac {1}{x^{8}}}\right)}

veya

ψ ( x ) = l n ( x ) − 1 2 x + ∑ n = 1 ∞ ζ ( 1 − 2 n ) x 2 n {\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}}
ψ ( x ) = l n ( x ) − 1 2 x − ∑ n = 1 ∞ B ( 2 n ) 2 n ( x 2 n ) {\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B(2n)}{2n(x^{2n})}}}

n tam sayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

ψ ( 1 ) = − γ {\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}
ψ ( 1 2 ) = − 2 ln ⁡ 2 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma }
ψ ( 1 3 ) = − π 2 3 − 3 2 ln ⁡ 3 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma }
ψ ( 1 4 ) = − π 2 − 3 ln ⁡ 2 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma }
ψ ( 1 6 ) = − π 2 3 − 2 ln ⁡ 2 − 3 2 ln ⁡ ( 3 ) − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3)-\gamma }
ψ ( 1 8 ) = − π 2 − 4 ln ⁡ 2 − 1 2 { π + ln ⁡ ( 2 + 2 ) − ln ⁡ ( 2 − 2 ) } − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\right\}-\gamma }

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. See section §6.42 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Eric W. Weisstein, Digamma function (MathWorld)

Dış bağlantılar

  • Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - C and C++ language special functions math library
  • [1] 27 Eylül 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1