Rogers–Ramanujans kedjebråk

Inom matematiken är Rogers–Ramanujans kedjebråk ett kedjebråk upptäckt av Rogers 1894 och oberoende av Srinivasa Ramanujan som är nära relaterad till Rogers–Ramanujan-identiteterna. Den kan skrivas i sluten form för flera olika argument.

Definition

Givet funktionerna i Rogers–Ramanujan-identiteterna,

${\displaystyle {\begin{aligned}G(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}}$

och

${\displaystyle {\begin{aligned}H(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+2q^{7}+\cdots \end{aligned}}}$

( A003114 och  A003106) där ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$ betecknar den oändliga q-Pochhammersymbolen, då är Rogers–Ramanujans kedjebråk

${\displaystyle {\begin{aligned}R(q)&={\frac {q^{11/60}H(q)}{q^{-1/60}G(q)}}=q^{1/5}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

Modulära funktioner

Om q = e^2πiτ är ${\displaystyle q^{-1/60}G(q)}$ och ${\displaystyle q^{11/60}H(q)}$, såsom även deras kvot ${\displaystyle R(q)}$, modulära funktioner av τ. Eftersom de har heltalskoefficienter, följer det av teorin komplex multiplikation att deras värden för imaginära kvadratisk irrationella τ är algebraiska tal som kan evalueras explicit.

Exempel

${\displaystyle R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-2\pi /5}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\ddots }}}}}}={{\sqrt {5+{\sqrt {5}} \over 2}}-{1+{\sqrt {5}} \over 2}}}$

${\displaystyle R{\big (}e^{-2\pi {\sqrt {5}}}{\big )}={\cfrac {e^{-2\pi /{\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}={\frac {\sqrt {5}}{1+{\big (}5^{3/4}(\phi -1)^{5/2}-1{\big )}^{1/5}}}-{\phi }}$

där ${\displaystyle \phi }$ är det gyllene snittet.

Relation till modulära former

Rogers–Ramanujans kedjebråk är relaterad till Dedekinds etafunktion, en modulär form av vikt 1/2, enligt^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{R(q)}}-R(q)={\frac {\eta (\tau /5)}{\eta (5\tau )}}+1}$

${\displaystyle {\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}+11}$

Relation till j-invarianten

En formel för j-invarianten är

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x^{2}+10x+5)^{3}}{x}}}$

där

${\displaystyle x=\left({\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}.}$

Genom att eliminera eta-kvoten kan j(τ) skrivas med hjälp av ${\displaystyle r=R(q)}$ som

${\displaystyle j(\tau )={\frac {-(1+228r^{5}+494r^{10}-228r^{15}+r^{20})^{3}}{r^{5}(-1+11r^{5}+r^{10})^{5}}}}$

${\displaystyle j(\tau )-1728={\frac {-(1-522r^{5}-10005r^{10}-10005r^{20}+522r^{25}+r^{30})^{2}}{r^{5}(-1+11r^{5}+r^{10})^{5}}}}$

där täljaren och nämnaren är polynominvarianter av ikosaedern. Genom att använda modulära ekvationerna mellan R(q) och R(q⁵) kan man bevisa att

${\displaystyle j(5\tau )={\frac {-(1-12r^{5}+14r^{10}+12r^{15}+r^{20})^{3}}{r^{25}(-1+11r^{5}+r^{10})}}}$

som faktiskt är j-invarianten av den elliptiska kurvan

${\displaystyle y^{2}+(1+r^{5})xy+r^{5}y=x^{3}+r^{5}x^{2}}$

parameteriserad av icke-spetspunkterna av den modulära kurvan ${\displaystyle X_{1}(5)}$.

Funktionalekvation

Vi använder beteckningen ${\displaystyle r(\tau )=R(q)}$ då q = e^2πiτ. Medan andra modulära former som j-invarianten satisfierar

${\displaystyle j(-{\tfrac {1}{\tau }})=j(\tau )}$

och Dedekinds etafunktion satisfierar

${\displaystyle \eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau )}$

innehåller funktionalekvationen för Rogers–Ramanujans kedjebråk^[2] det gyllene snittet ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle r(-{\tfrac {1}{\tau }})={\frac {1-\phi \,r(\tau )}{\phi +r(\tau )}}}$

Modulära ekvationer

Det finns flera intressanta modulära ekvationer mellan ${\displaystyle R(q)}$ och ${\displaystyle R(q^{n})}$. Några eleganta sådana för små primtal n är:^[3]

Låt u = R(q) och v = R(q²). Då är ${\displaystyle v-u^{2}=(v+u^{2})uv^{2}.}$

Låt u = R(q) och v = R(q³). Då är ${\displaystyle (v-u^{3})(1+uv^{3})=3u^{2}v^{2}.}$

Låt u = R(q) och v = R(q⁵). Då är ${\displaystyle (1-2v+4v^{2}-3v^{3}+v^{4})v=(1+3v+4v^{2}+2v^{3}+v^{4})u^{5}.}$

Låt u = R(q) och v = R(q¹¹) Då är ${\displaystyle uv(-1+11u^{5}+u^{10})(-1+11v^{5}+v^{10})=(u-v)^{12}.}$

För n = 5, notera att ${\displaystyle -1+11v^{5}+v^{10}=(-1+v+v^{2})(1-2v+4v^{2}-3v^{3}+v^{4})(1+3v+4v^{2}+2v^{3}+v^{4}).}$

Andra resultat

Ramanujan upptäckte flera intressanta resultat om R(q).^[4] Låt ${\displaystyle u=R(q^{a})}$, ${\displaystyle v=R(q^{b})}$ och ${\displaystyle \phi }$ vara det gyllene snittet.

Om ${\displaystyle ab=4\pi ^{2}}$ är ${\displaystyle (u+\phi )(v+\phi )={\sqrt {5}}\,\phi .}$

Om ${\displaystyle 5ab=4\pi ^{2}}$ är ${\displaystyle (u^{5}+\phi ^{5})(v^{5}+\phi ^{5})=5{\sqrt {5}}\,\phi ^{5}.}$

Potenserna av R(q) kan skrivas på intressanta sätt. För dess kub är

${\displaystyle R^{3}(q)={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{5n+2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{3n+1}}{1-q^{5n+3}}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{5n+1}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}}}}}$

För dess femte potens, låt ${\displaystyle w=R(q)R^{2}(q^{2})}$, då är

${\displaystyle R^{5}(q)=w\left({\frac {1-w}{1+w}}\right)^{2},\;\;R^{5}(q^{2})=w^{2}\left({\frac {1+w}{1-w}}\right)}$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Rogers–Ramanujan continued fraction, 8 maj 2014.

Noter

Källor

• Rogers, L. J. (1894), ”Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products”, Proc. London Math. Soc. s1-25 (1): 318–343, doi:10.1112/plms/s1-25.1.318 
• Berndt, B. C.; Chan, H. H.; Huang, S. S.; Kang, S. Y.; Sohn, J.; Son, S. H. (1999), ”The Rogers–Ramanujan continued fraction”, Journal of Computational and Applied Mathematics 105: 9, doi:10.1016/S0377-0427(99)00033-3, http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/rrcf.pdf 

Externa länkar

• Weisstein, Eric W., "Rogers-Ramanujan Identities", MathWorld. (engelska)
• Weisstein, Eric W., "Rogers-Ramanujan Continued Fraction", MathWorld. (engelska)