Generaliserat medelvärde

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Ett generaliserat medelvärde är en generalisering av de vanliga aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdena.

Definition

Ett generaliserat medelvärde av de positiva talen x 1 , x 2 , … x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n}} är av formen

M p ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ( ∑ k = 1 n x p n ) 1 / p = ( x 1 p + x 2 p + ⋯ + x n p n ) 1 / p {\displaystyle M_{p}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{k=1}^{n}x^{p}}{n}}\right)^{1/p}=\left({\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\dots +x_{n}^{p}}{n}}\right)^{1/p}}

Eftersom

lim p → 0 M p ( x 1 , … , x n ) = x 1 ⋅ ⋯ ⋅ x n n {\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}

brukar man definiera

M 0 ( x 1 , … , x n ) = x 1 ⋅ ⋯ ⋅ x n n {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}

Egenskaper

Ett generaliserat medelvärde är strikt, homogent, och symmetriskt.

M p ( x ¯ ) = ( 1 n ) 1 p ‖ x ¯ ‖ p {\displaystyle M_{p}({\bar {x}})=\left({\frac {1}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}\|{\bar {x}}\|_{p}} .

Specialfall

Några specialfall:

  • lim p → − ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = min { x 1 , … , x n } {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} - Minimum
  • M − 1 ( x 1 , … , x n ) = n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}} - Harmoniskt medelvärde
  • M 0 ( x 1 , … , x n ) = x 1 ⋅ ⋯ ⋅ x n n {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}} - Geometriskt medelvärde
  • M 1 ( x 1 , … , x n ) = x 1 + ⋯ + x n n {\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}} - Aritmetiskt medelvärde
  • M 2 ( x 1 , … , x n ) = x 1 2 + ⋯ + x n 2 n {\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}} - Kvadratiskt medelvärde
  • lim p → ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = max { x 1 , … , x n } {\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} - Maximum

Ordning

Om p < q {\displaystyle p<q} gäller

M p ( x 1 , … , x n ) ≤ M q ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})} .

En följd av detta är:

x 1 2 + ⋯ + x n 2 n ≥ x 1 + ⋯ + x n n ≥ x 1 ⋅ ⋯ ⋅ x n n ≥ n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}\geq {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}
v • r
Medelvärden