Digammafunktionen är en speciell funktion som definieras som gammafunktionens logaritmiska derivata:
![{\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828d993d548c2b5627a7b620a90aabbe76521b73)
Relation till harmoniska tal
Digammafunktionen är relaterad till harmoniska talen enligt
![{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fdafbb68f5daa5eeaffeab1cd4e67cab4f3bd4)
där Hn är set n:te harmoniska talet, och γ är Eulers konstant.
Integralrepresentation
Om reella delen av
är positiv kan digammafunktionen skrivas som integralerna
![{\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335bbb714c917f57907037cf94e61525dbf09b42)
och
![{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe9efde8ff6059d919e707666fd1078db657e29)
Serierepresentation
Det finns ett flertal oändliga serier för digammafunktionen:
![{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z)}}\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce6bc23b8fb2001bf8f30f2d8d6327b032ecff2)
Taylorserien är
,
som konvergerar för |z|<1. En annan serie är
![{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744d2ae8fe73d9d6b492a2ce68786e4adc39e030)
Reflektionsformel
Digammfunktionen satisfierar reflektionsformeln
![{\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71080433f667b459fb7810ec216e8221d189331e)
Gauss digammasats
För positiva heltal m och k med m < k gäller
![{\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a784cf972d411661a34c49da4eadcefd2e098f5b)
Beräkning och approximering
Digammafunktionen kan approximeras som
![{\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {5}{660x^{10}}}+{\frac {691}{32760x^{12}}}-{\frac {1}{12x^{14}}}+O\left({\frac {1}{x^{16}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504b041e1250c1638cd4d2bf7bc4b93ea807bd37)
som är början av dess asymptotiska expansion. Hela expansionen ges av
![{\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2n\,x^{2n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17807d4f4a8dba50d2eccec8d19a434a506300c7)
där
är det k-te Bernoullitalet och
är Riemanns zetafunktion.
Speciella värden
![{\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1f0004e542728e57a61f073f173b701a31a104)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc974ae0c4a67cd76a3519e0ba3611bc3481897)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d8266ed3a886e346325d67c02823b4911ed360)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3406a5c0e09ec3c05b28c40d7d22bb191f42a8)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3)-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e975389f0679e26d4572457664c8028b04d2a651)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\right\}-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0a1cfc6879fa1ead494c5f42e24d9d002217fb)
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Digamma function, 15 november 2013.
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Digammafunktionen.Bilder & media
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | Gammafunktionen · Betafunktionen · Digammafunktionen · Trigammafunktionen · Polygammafunktionen · Ofullständiga gammafunktionen · Barnes G-funktion | | Zeta- och L-funktioner | Riemanns zetafunktion · Dirichlets L-funktion · Dedekinds zetafunktion · Artins L-funktion · Hasse–Weils L-funktion · Motiviska L-funktionen | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|