Comptonov efekat

Komptonov efekat je rasejanje fotona sa atoma pri čemu foton gubi deo energije, tj., menja talasnu dužinu. Efekat je značajan jer je potvrdio kvantnu prirodu svetlosti. Može kvantitativno da se objasni ako se predstavi kao igra bilijara fotona i elektrona. Za otkriće i objašnjenje efekta Kompton je dobio Nobelovu nagradu za fiziku 1927. godine.

Ovaj efekat je bio važan za razvoj moderne fizike jer je pokazao da svetlost ne može u potpunosti da se opiše kao talasna pojava. Klasična teorija rasejanja elektromagnetnih talasa sa naelektrisane čestice ne može da objasni promenu talasne dužine rasejanog zraka. Za objašnjenje Komptonovog rasejanja neophodno je uzeti u obzir čestičnu prirodu svetlosti. Komptonov eksperiment je najzad uverio fizičare da se svetlo ponaša i kao mlaz čestica čija je energija proporcionalna frekvenciji.

Komptonovo rasejanje se javlja na svim materijalima, najviše sa fotonima srednjih energija, 0,5 do 3,5 MeV.

Jednačina za Komptonov pomak

Da bi objasnio pojavu, Kompton je upotrebio tri osnovne formule klasične i moderne fizike:

• Čestičnu prirodu svetlosti, kako je već demonstrirano u fotoelektričnom efektu
• Relativističku dinamiku iz specijalne teorije relativnosti
• Trigonometriju - kosinusni zakon

te je dobio sledeću jednačinu Komptonovog rasejanja:

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta })+\lambda _{1}}$

gde je

${\displaystyle \lambda _{1}}$ talasna dužina fotona pre sudara,

${\displaystyle \lambda _{2}}$ talasna dužina fotona posle rasejanja,

m_e masa elektrona,

h/(m_ec) Komptonova talasna dužina,

θ ugao skretanja fotona,

h Plankova konstanta, i

c brzina svetlosti.

Komptonova talasna dužina iznosi 2,43×10^-12 metara.

Izvođenje

Polazimo od zakona o održanju energije:

${\displaystyle E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma '}+E_{e'}\,}$

gde je ${\displaystyle E_{\gamma }}$ energija fotona pre sudara a ${\displaystyle E_{e}}$ energija elektrona pre sudara – jednaka njegovoj masi mirovanja. Promenljive sa primom (') označavaju stanje nakon sudara.

Isto treba da važi i zakon o održanju momenta:

${\displaystyle {\vec {p}}_{\gamma }+{\vec {p_{e}}}={\vec {p_{\gamma '}}}+{\vec {p_{e'}}}\,}$

gde, zbog jednostavnosti, podrazumevamo da elektron pre sudara miruje pa ${\displaystyle p_{e}=0}$

Koristeći vezu između energije i frekvencije, i energije i impulsa ${\displaystyle E=hf=pc}$ iz gornjeg izraza nalazimo:

${\displaystyle {\vec {p_{e'}}}={\vec {p_{\gamma }}}-{\vec {p_{\gamma '}}}\,}$

${\displaystyle {\vec {p_{e'}}}^{2}={({\vec {p_{\gamma }}}-{\vec {p_{\gamma '}}})}^{2}}$

${\displaystyle {\vec {p_{e'}}}^{2}={\vec {p_{\gamma }}}^{2}-2\cdot {\vec {p_{\gamma }}}\cdot {\vec {p_{\gamma '}}}+{\vec {p_{\gamma '}}}^{2}}$

${\displaystyle {\vec {p_{e'}}}\cdot {\vec {p_{e'}}}={\vec {p_{\gamma }}}\cdot {\vec {p_{\gamma }}}-2\cdot {\vec {p_{\gamma }}}\cdot {\vec {p_{\gamma '}}}+{\vec {p_{\gamma '}}}\cdot {\vec {p_{\gamma '}}}}$

${\displaystyle {p_{e'}}^{2}\cdot \cos(0)=p_{\gamma }^{2}\cdot \cos(0)-2\cdot p_{\gamma }\cdot p_{\gamma '}\cdot \cos(\theta )+p_{\gamma '}^{2}\cdot \cos(0)}$

Kosinusni član, ${\displaystyle \cos(\theta )}$, se javlja jer foton menja pravac kretanja pa je za slaganje momenata potrebno uzeti u obzir ugao među njima.
Zamenjivanjem ${\displaystyle p_{\gamma }}$ sa ${\displaystyle {\frac {hf}{c}}}$ i ${\displaystyle p_{\gamma '}}$ sa ${\displaystyle {\frac {hf'}{c}}}$, nalazimo

${\displaystyle p_{e'}^{2}={\frac {h^{2}f^{2}}{c^{2}}}+{\frac {h^{2}f'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h^{2}ff'\cos {\theta }}{c^{2}}}}$

Sada transformišemo energijski deo:

${\displaystyle E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma '}+E_{e'}\,}$

${\displaystyle hf+mc^{2}=hf'+{\sqrt {(p_{e'}c)^{2}+(mc^{2})^{2}}}\,}$

i rešavamo ga po p_e':

${\displaystyle (hf+mc^{2}-hf')^{2}=(p_{e'}c)^{2}+(mc^{2})^{2}\,}$

${\displaystyle {\frac {(hf+mc^{2}-hf')^{2}-m^{2}c^{4}}{c^{2}}}=p_{e'}^{2}\,}$

Sada imamo dve različita izraza za ${\displaystyle p_{e'}^{2}}$, koja smemo da izjednačimo:

${\displaystyle {\frac {(hf+mc^{2}-hf')^{2}-m^{2}c^{4}}{c^{2}}}={\frac {h^{2}f^{2}}{c^{2}}}+{\frac {h^{2}f'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h^{2}ff'\cos {\theta }}{c^{2}}}}$

Sada je samo pitanje preuređivanja:

${\displaystyle h^{2}f^{2}+h^{2}f'^{2}-2h^{2}ff'+2h(f-f')mc^{2}=h^{2}f^{2}+h^{2}f'^{2}-2h^{2}ff'\cos {\theta }\,}$

${\displaystyle -2h^{2}ff'+2h(f-f')mc^{2}=-2h^{2}ff'\cos {\theta }\,}$

${\displaystyle hff'-(f-f')mc^{2}=hff'\cos {\theta }\,}$

${\displaystyle hff'(1-\cos {\theta })=(f-f')mc^{2}\,}$

${\displaystyle h{\frac {c}{\lambda '}}{\frac {c}{\lambda }}(1-\cos {\theta })=\left({\frac {c}{\lambda }}-{\frac {c}{\lambda '}}\right)mc^{2}}$

${\displaystyle h{\frac {c}{\lambda '}}{\frac {c}{\lambda }}(1-\cos {\theta })=\left({\frac {c\lambda '}{\lambda \lambda '}}-{\frac {c\lambda }{\lambda '\lambda }}\right)mc^{2}}$

${\displaystyle h(1-\cos {\theta })={\frac {\lambda '}{c}}{\frac {\lambda }{c}}\left({\frac {c\lambda '}{\lambda '\lambda }}-{\frac {c\lambda }{\lambda \lambda '}}\right)mc^{2}}$

${\displaystyle h(1-\cos {\theta })=\left({\frac {\lambda '}{c}}-{\frac {\lambda }{c}}\right)mc^{2}}$

${\displaystyle {\frac {h}{mc}}(1-\cos {\theta })=\lambda '-\lambda }$

Dakle, nakon sudara sa elektronom u atomu, foton menja pravac (ugao ${\displaystyle \theta }$) i talasnu dužinu od ${\displaystyle \lambda }$ u ${\displaystyle \lambda '}$ izbijajući iz atoma elektron koji odnosi deo prvobitne energije fotona.

Primene

Komptonovo rasejanje je od prvorazrednog značaja u radiologiji jer je to najverovatniji mehanizam međudelovanja visokoenergijskih H-zraka i atoma u tkivu i koristi se u radijacionoj terapiji.

U istraživanjima, Komptonovo rasejanje se koristi za ispitivanje elektronskog omotača u atomu.

Vidi još

• Fotoelektrični efekat

Literatura

Spoljašnje veze

• Compton Effect (PDF file) by Michael Brandl for Project PHYSNET Arhivirano 2006-01-17 na Wayback Machine-u.
• Compton Scattering - Georgia State University
• Compton Scattering Data - Georgia State University
• Derivation of Compton shift equation
• Erklärung und Animationen Arhivirano 2015-07-13 na Wayback Machine-u (LEIFI-Physik)
• Animation zur Richtungsverteilung von Photon und Elektron (bei BIGS)