Unitatea imaginară

Unitatea imaginară, notată de obicei cu i, este un număr al cărui pătrat este $-1$ , adică astfel încât $i^{2}=-1$ .

Cum nu există numere reale care ridicate la pătrat să fie numere negative, acest număr a fost numit imaginar de Rene Descartes, iar de aici rezultă notația i, dată de Euler.

Existența unității imaginare este baza construcției numerelor complexe.

Definiție

Unitatea imaginară i este definită ca fiind o soluție a ecuației:

x^{2}+1=0\

Dată fiind această soluție, singura cealaltă soluție a ecuație este -i. Nu contează care soluție este notată i și care soluție este notată -i, ambele soluții fiind imposibil de distins a priori.

Notații alternative

Unitatea imaginară este uneori scrisă ca ${\sqrt {-1}}$ . Însă, această expresie este de evitat pentru că nu este riguroasă — rădăcina pătrată fiind definită numai pentru numere reale pozitive — și conduce la niște erori. Spre exemplu, următorul calcul este incorect:

-1=i\cdot i=\underbrace {{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}} _{\text{expresie nedefinită}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1

(incorect)

În fizică, mai ales în ingineria electronică, se mai folosește simbolul j, pentru a evita o confuzie cu intensitatea curentului electric. Această notație se folosește și în niște limbaje de programare, precum Python:

>>> x = 1 + 1j
>>> type(x)
<class 'complex'>

Proprietăți

Modulul lui i este 1: $|i|=1$
Argumentul principal a lui i este $\pi /2$ : $\mathrm {Arg} (i)=\pi /2$
Coordonatele carteziene ale lui i în planul complex sunt $(0,1)$ , iar coordonatele polare sale sunt $(1,\pi /2)$ .
O reprezentare exponențială a lui i este $i=e^{i\,\pi /2}$ .
Inversul lui i este propriul său opus: $1/i=-i$
Conjugatul lui i este propriul său opus: ${\bar {i}}=-i$
Numărul i este o rădăcină de ordin patru a unității, iar puterile întregi sale se repetă periodic: