Relație binară

În matematică, o relație binară pe o mulțime A este o submulțime a produsului cartezian ${\displaystyle A\times A}$ al mulțimii A cu ea însăși. Este o relație de aritate doi.

Ca notație uzuală, dacă ${\displaystyle \rho \subseteq A\times A}$ este o relație, în loc de a scrie ${\displaystyle (a,b)\in \rho }$, se scrie ${\displaystyle a\,\rho \,b}$.

Tipuri de relații binare

O relație binară ${\displaystyle \rho \subseteq A\times A}$ se numește:

• reflexivă, dacă ${\displaystyle \forall a\in A\,,\ a\,\rho \,a}$
• antireflexivă, dacă ${\displaystyle \forall a\in A\,,\ (a,a)\notin \rho }$
• simetrică, dacă ${\displaystyle \forall a,b\in A\,,\ a\,\rho \,b\ \Rightarrow \ b\,\rho \,a}$
• antisimetrică, dacă ${\displaystyle \forall a,b\in A}$, ${\displaystyle a\,\rho \,b}$ și ${\displaystyle b\,\rho \,a}$ implică ${\displaystyle a=b}$
• tranzitivă, dacă ${\displaystyle \forall a,b,c\in A}$, ${\displaystyle a\,\rho \,b}$ și ${\displaystyle b\,\rho \,c}$ implică ${\displaystyle a\,\rho \,c}$
• de echivalență, dacă este reflexivă, simetrică și tranzitivă
• de preordine dacă este reflexivă și tranzitivă
• de ordine, dacă este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă
• de ordine totală, dacă este relație de ordine și ${\displaystyle \forall a,b\in A}$, ${\displaystyle a\,\rho \,b}$ sau ${\displaystyle b\,\rho \,a}$
• relație de bună ordonare, dacă este relație de ordine totală și, în plus, orice submulțime nevidă a lui A posedă un minim (${\displaystyle B\subseteq A\land B\neq \emptyset \Rightarrow \exists m\in B,\forall x\in B,m\leq x}$)
• de ordine strictă, dacă este antireflexivă și tranzitivă

Vezi și

• Produs cartezian
• Operație binară
• Închidere tranzitivă
• Graf
• Perpendicularitate

Portal Matematică