Paraboloid

Paraboloid
Paraboloid

Paraboloidul este o suprafață cuadrică. Secțiunile sale plane (intersecția paraboloidului cu un plan oarecare) pot fi elipse sau hiperbole, de unde și clasificarea; paraboloizi eliptici și paraboloizi hiperbolici.

O caracteristică a paraboloidului este și faptul că nu are un centru de simetrie.

Paraboloid eliptic

Paraboloid eliptic (circular)

Un paraboloid este eliptic dacă secțiunile perpendiculare pe axa sa de simetrie sunt elipse.

Într-un sistem de referință tridimensional cu originea în vârful paraboloidului, ecuația sa este de forma[1]:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 − z = 0 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}-z=0}

În cazul particular a = b {\displaystyle a=b} , paraboloidul eliptic se numește „paraboloid circular” sau „paraboloid de rotație”.

Formula volumului unui corp format dintr-un paraboloid eliptic circular mărginit de un plan perpendicular pe axa de simetrie este[2][3]:

V = 1 / 2 π ⋅ b 2 ⋅ a {\displaystyle V=1/2\pi \cdot b^{2}\cdot a}

unde a este lungimea axei de simetrie de la vârful paraboloidului până la planul bazei, iar b este raza cercului de intersecție a paraboloidului cu planul bazei.

Paraboloid hiperbolic

Paraboloid hiperbolic
Acoperișul gării din Predeal, în formă de paraboloid hiperbolic

Într-un sistem de referință tridimensional potrivit ales, ecuația paraboloidului hiperbolic este de forma:[4][5]

( x a ) 2 − ( y b ) 2 − z = 0 , {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}-z=0,}

Forma particulară a acestei suprafețe i-a adus supranumele „șa de cal”, sau „șa de călărie”. În ilustrația alăturată, este reprezentată, pentru x {\displaystyle x} și y {\displaystyle y} cuprinse între –1 și 1, suprafața de ecuație z = x 2 − y 2 {\displaystyle z=x^{2}-y^{2}\,\!} . Se pot observa hiperbolele „orizontale” (cu galben) care degenerează în drepte secante pentru z = 0 {\displaystyle z=0\,\!} , și parabolele „verticale” (cu violet).

Note

  1. ^ Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. p. 892. ISBN 0-321-18558-7. 
  2. ^ „Paraboloid - Volume”, Vcalc.com, accesat în  
  3. ^ Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. p. 892. ISBN 0-321-18558-7. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html
  5. ^ Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. p. 896. ISBN 0-321-18558-7. 

Lectură suplimentară

  • Jacques Hadamard, Lecții de geometrie elementară. Geometrie în spațiu, Editura Tehnică, București, 1961

Legături externe

Commons
Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Paraboloid
  • fr Paraboloïde elliptique
  • fr Paraboloïde hyperbolique: définitions mathématiques et applications en architecture