Funcție simetrică

Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol.
Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor.
Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici.

În matematică, o funcție de n {\displaystyle n} variabile este simetrică dacă valoarea ei este aceeași, indiferent de ordinea argumentelor sale. De exemplu, o funcție f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)} de două argumente este o funcție simetrică dacă și numai dacă f ( x 1 , x 2 ) = f ( x 2 , x 1 ) {\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)} pentru toate x 1 {\displaystyle x_{1}} și x 2 {\displaystyle x_{2}} astfel încât ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)} și ( x 2 , x 1 ) {\displaystyle \left(x_{2},x_{1}\right)} sunt în domeniul lui f . {\displaystyle f.} Cele mai frecvent întâlnite funcții simetrice sunt funcțiile polinomiale, care sunt date de polinoamele simetrice⁠(d).

Simetrizare

Fiind dată o funcție f {\displaystyle f} cu n {\displaystyle n} variabile, cu valori într-un grup abelian, o funcție simetrică poate fi construită prin însumarea valorilor lui f {\displaystyle f} peste toate permutările argumentelor. Similar, o funcție antisimetrică poate fi construită prin însumarea permutărilor pare și scăderea permutărilor impare. Aceste operații nu sunt inversabile și ar putea avea ca rezultat o funcție care este zero pentru funcțiile netriviale f . {\displaystyle f.} Singurul caz general în care f {\displaystyle f} poate fi dedusă dacă se cunosc atât simetrizarea cât și antisimetrizarea este atunci când n = 2 {\displaystyle n=2} și grupul abelian admite o împărțire cu 2 (inversa dublării); atunci f {\displaystyle f} este egală cu jumătate din suma simetrizării și antisimetrizării sale.

Exemple

f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) . {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}
Prin definiție, o funcție simetrică cu n {\displaystyle n} variabile are proprietatea că
f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = f ( x 2 , x 1 , … , x n ) = f ( x 3 , x 1 , … , x n , x n − 1 ) ,  etc. {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}}
În general, funcția rămâne aceeași pentru orice permutare a variabilelor sale. Aceasta înseamnă că în acest caz
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) = ( x − x 2 ) ( x − x 1 ) ( x − x 3 ) = ( x − x 3 ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}
și așa mai departe pentru toate permutările lui x 1 , x 2 , x 3 . {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}
  • Fie funcția
f ( x , y ) = x 2 + y 2 − r 2 . {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}
Dacă x {\displaystyle x} și y {\displaystyle y} sunt interschimbate, funcția devine
f ( y , x ) = y 2 + x 2 − r 2 , {\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}
care dă exact aceleași rezultate ca și funcția inițială f ( x , y ) . {\displaystyle f(x,y).}
  • Fie acum funcția
f ( x , y ) = a x 2 + b y 2 − r 2 . {\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}
Dacă x {\displaystyle x} și y {\displaystyle y} sunt interschimbate, funcția devine
f ( y , x ) = a y 2 + b x 2 − r 2 . {\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}
Această funcție nu este aceeași cu cea inițială dacă a ≠ b , {\displaystyle a\neq b,} ceea ce o face nesimetrică.

Bibliografie

  • en F. N. David, M. G. Kendall, D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
  • en Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN: 978-0-521-73794-4.
Portal icon Portal Matematică