Dimensiune Hausdorff

În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.

Definiție

Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spațiu metric.

${\displaystyle H_{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }diam(A_{i})^{s}\right\}}$

${\displaystyle H^{s}(E)=\lim _{\delta \rightarrow 0}H_{\delta }^{s}(E)}$

${\displaystyle \dim _{H}(E)=\inf \left\{s,H^{s}(E)=0\right\}=\sup \left\{s,H^{s}(E)=\infty \right\}}$

Exemplu

Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul ${\displaystyle X=[0,1]\subset \mathbb {R} }$ :

• Pentru ${\displaystyle s>1\,}$

Pentru ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ , fie numărul natural ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ astfel ales încât ${\displaystyle {\frac {1}{N_{\varepsilon }}}<\varepsilon }$ .

Cu acoperirea specială

${\displaystyle A_{i}={\big [}{\frac {i-1}{N_{\varepsilon }}},{\frac {i}{N_{\varepsilon }}}{\big ]}}$   pentru ${\displaystyle 1\leq i\leq N_{\epsilon },A_{i}=1}$ pentru ${\displaystyle i\geq N_{\varepsilon }}$.

Urmează

${\displaystyle H_{\varepsilon }^{s}(X)\leq N_{\varepsilon }\cdot {\big (}{\frac {1}{N_{\varepsilon }}}{\big )}^{s}={\big (}{\frac {1}{N_{\varepsilon }}}{\big )}^{s-1}<\varepsilon ^{s-1}}$.

• Pentru ${\displaystyle s<1\,}$

Deoarece ${\displaystyle d(A_{i})<\varepsilon }$ , avem:

${\displaystyle \sum d(A_{i})^{s}=\sum {\frac {d(A_{i})}{d(A_{i})^{1-s}}}>\sum {\frac {d(A_{i})}{\varepsilon ^{1-s}}}}$ .

Cum însă ${\displaystyle A_{i}\,}$ intervalul ${\displaystyle X\,}$ acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:

${\displaystyle \geq {\frac {1}{\varepsilon ^{1-s}}}.}$

Rezultă:

${\displaystyle H_{\varepsilon }^{s}(X)\geq {\frac {1}{\varepsilon ^{1-s}}}}$ .

Deci:

${\displaystyle H^{s}(X)=\infty \,}$ .

• Pentru ${\displaystyle s=1\,}$:

Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:

${\displaystyle H^{1}(X)=1\,}$ .

Așadar:

${\displaystyle \dim X=1\,}$.

Cazuri concrete

• Cercul are dimensiune Hausdorff 1.

• Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este   ${\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln 3}}}$ .

• Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este   ${\displaystyle {\frac {\ln 3}{\ln 2}}}$ .

• Dimensiunea Hausdorff a traiectoriei mișcării browniene tinde către 2.

Bibliografie

• Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
• Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.

Vezi și

• Fractal

Legături externe

• en Despre dimensiunea Hausdorff