Teorema dos resíduos

Em análise complexa, o teorema dos resíduos é um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generaliza a fórmula de Cauchy.

Enunciado

Seja ${\displaystyle U}$ um aberto simplesmente conexo de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (tal como, por exemplo, um disco aberto ou todo o plano complexo), seja ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\}}$ uma parte finita de ${\displaystyle U}$, seja ${\displaystyle f}$ uma função analítica de ${\displaystyle U-\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\}}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e seja ${\displaystyle \gamma }$ um lacete com valores em ${\displaystyle U}$. Então o teorema dos resíduos afirma que

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {ind} (a_{k},\gamma )\operatorname {res} (a_{k},f)}$

onde

• ${\displaystyle {\text{ind}}(a_{k},\gamma )}$ é o índice de ${\displaystyle \gamma }$ relativamente a ${\displaystyle a_{k}}$;
• ${\displaystyle {\text{res}}(a_{k},f)}$é o resíduo da função ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle a_{k}}$.

Exemplos

• Considere-se a função ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} -\{0\}}$ em C definida por ${\displaystyle f(z):=1/z}$ e o lacete ${\displaystyle \gamma }$ de [0,2π] em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definido por ${\displaystyle \gamma (t)=\cos(t)+{\text{i}}\sin(t)=e^{{\text{i}}t}}$. Um cálculo direto revela que

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)}}\,dt=2\pi i,}$

o que é coerente com o que diz o teorema dos resíduos, pois este afirma que (tomando ${\displaystyle U=\mathbb {C} }$)

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(z)\,dz=\operatorname {ind} (0,\gamma )\operatorname {res} (0,f)=1\times 1=1.}$

• Considere-se a função ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} -\{\pm 1\}}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definida por ${\displaystyle f(z):={\cfrac {z}{z^{2}-1}}}$e o lacete ${\displaystyle \gamma }$ de ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definido por ${\displaystyle \gamma (t)=2\cos(t)+{\text{i}}\sin(t)}$. Então, pelo teorema dos resíduos,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }f(z)\,dz&=2\pi i\left(\operatorname {ind} (1,\gamma )\operatorname {res} (1,f)+\operatorname {ind} (-1,\gamma )\operatorname {res} (-1,f)\right)\\&=2\pi i\left(1\times {\frac {1}{2}}+1\times {\frac {1}{2}}\right)\\&=2\pi i.\end{aligned}}}$

Relação com a fórmula integral de Cauchy

Seja ${\displaystyle f}$ uma função analítica cujo domínio contenha algum disco fechado ${\displaystyle {\big \{}z\in \mathbb {C} :|z-w|\leq r{\big \}}}$, para algum ${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$ e para algum ${\displaystyle r>0}$. Se se definir o lacete ${\displaystyle \gamma }$ de ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ por ${\displaystyle \gamma (t)=w+r\cdot e^{{\text{i}}t}}$, então faz sentido, para cada ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ tal que ${\displaystyle |a-w|<r}$, considerar o integral de ${\displaystyle {\cfrac {f(z)}{z-a}}}$ao longo de ${\displaystyle \gamma }$ e a fórmula de Cauchy diz que

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz=f(a).}$

Mas, visto que ${\displaystyle {\text{ind}}(a,\gamma )=1}$ e que

${\displaystyle \operatorname {res} \left(a,{\frac {f(z)}{z-a}}\right)=f(a)}$

isto não é mais do que um caso particular do teorema dos resíduos.

Bibliografia

• L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.