Teorema de Euler

Devido à numerosa produção teórica de Leonhard Euler, a expressão Teorema de Euler pode ser aplicada a um grande número de teoremas matemáticos e físicos:^[1][2][3]

• O Teorema do Deslocamento de Euler, ou Teorema da Rotação de Euler, em Mecânica dos Corpos Rígidos
• O Teorema da Distribuição de Euler, em Geometria
• O Teorema do Tociente, ou Teorema de Fermat-Euler, em Teoria dos Números
• O Teorema de Euler em Trigonometria
• O Teorema de Euler sobre as Diferenciais Exatas, em Cálculo

Teorema de Euler na Teoria dos Números (Teorema do Tociente)

Em teoria dos números, o Teorema de Euler (também conhecido como Teorema de Fermat-Euler) estabelece que se n é um inteiro positivo e a é um inteiro positivo co-primo de n então:

${\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1(mod\;n)}$

A expressão

${\displaystyle a\equiv b(mod\;n)}$

significa que ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ se encontram na mesma "classe de congruência" módulo ${\displaystyle n}$, ou seja, que ambos deixam o mesmo resto se os dividirmos por ${\displaystyle n}$, ou, o que é equivalente, ${\displaystyle a-b}$ é um múltiplo de ${\displaystyle n}$.

Um facto importante sobre módulos de números primos é o pequeno teorema de Fermat: se ${\displaystyle p}$ é um número primo e ${\displaystyle a}$ é um qualquer inteiro, então

${\displaystyle a^{p}\equiv a(mod\;p)}$

Isto foi generalizado por Euler:

Para qualquer inteiro positivo ${\displaystyle n}$ e qualquer inteiro ${\displaystyle a}$ relativamente primo a ${\displaystyle n}$, tem-se: ${\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1(mod\;n)}$, onde ${\displaystyle \phi (n)}$ denota a função totiente de Euler que conta o número de inteiros entre 1 e n que sejam coprimos em relação a n.

É necessário assinalar que o teorema de Euler é uma consequência do teorema de Lagrange, aplicado ao caso do grupo das unidades de um anel ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.

O Teorema de Euler sobre as Diferenciais Exatas

Em cálculo, uma diferencial, expressa na forma canônica ${\displaystyle df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy}$, é dita exata se existe uma função ${\displaystyle f(x,y)}$ tal que:

${\displaystyle P(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}}$

${\textstyle Q(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}}$

Mas

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}\;=\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\;\partial x}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}\;=\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\;\partial y}}}$

então

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}\;=\;{\frac {\partial Q}{\partial x}}}$

Referências

• Portal da matemática