Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro
, da seguinte forma:
o número
, a sequência
e o parâmetro
podem ser em geral números complexos. [1]
A convergência da série de potências depende da distância entre
e
no plano complexo:
Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).
História
O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665.[2]
Newton provou o teorema binomial:
![{\displaystyle (1+x)^{r}=1+rx+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{3}+\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90866129b99386629ec6a9b2799790bb941fc79)
que era conhecido para valores naturais de r, e o generalizou para valores racionais, positivos ou negativos, de r.[3]
Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para seno, cosseno, tangente, arco seno, arco cosseno, arco tangente e a função
.[3]
Série de Taylor
Uma função analítica num ponto
é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse ponto.[1] Nesse caso a função pode ser representada por uma série de potências convergente em
:
as derivadas de
calculam-se derivando o termo dentro da série, por exemplo, as duas primeiras derivadas são:
Se substituirmos
nas séries para
,
e
vemos que:
em geral,
e a série de Taylor de
escreve-se:
No caso particular
obtém-se a chamada série de Maclaurin. Onde o raio de convergência da série é igual à distância entre
e o ponto singular de
mais próximo.[1]
Algumas séries de Maclaurin importantes
para x, em valor absoluto, menor que 1.
Método das séries
Consideremos a equação diferencial linear, homogênea de segunda ordem
em que
,
e
são polinômios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equações dessa forma.[1]
A partir do teorema de existência e unicidade para equações lineares, vemos que os pontos singulares são as raízes do polinômio
. Se o ponto
não for raiz de
, a solução da equação diferencial será uma função analítica em
e, portanto, existirá a série de Maclaurin para a solução
:
A obtenção da solução é equivalente à obtenção da sequência
. A equação de diferenças que define a sequência
é obtida por substituição da série de Maclaurin (e das suas derivadas) na equação diferencial.[1]
Equação de Airy
Um exemplo de uma equação linear muito simples que não pode ser resolvida pelos métodos convencionais das equações diferenciais e que pode ser resolvida pelo método das séries, é a equação de Airy:
O polinômio
é neste caso igual a 1, de maneira que a solução será analítica em
e poderá ser escrita como uma série de Maclaurin:
A segunda derivada é:
e substituindo na equação diferencial
para agrupar as duas séries numa única série de potências, escrevemos a primeira série numa forma equivalente: podemos incrementar em 3 unidades o índice
, dentro da série, se subtrairmos 3 aos limites do somatório; a série resultante será idêntica à série inicial
Na primeira série os dois primeiros termos (
e
) são nulos e o terceiro termo (
) pode ser escrito explicitamente; a série resultante começa desde
, podendo ser agrupada à segunda série:
no lado esquerdo da equação temos uma série de potências em que o coeficiente de ordem zero é
e os coeficientes de ordem superior a zero são o termo dentro dos parêntesis quadrados, com
Para que a série de potências seja nula em qualquer ponto
, é necessário que todos os coeficientes sejam nulos:
Temos transformado o problema num problema de equações de diferenças.
A equação de diferenças obtida é uma equação incompleta, de terceira ordem e a sua solução consiste em três sucessões independentes para os coeficientes de ordem múltiplo de 3, múltiplo de 3 mais 1, e múltiplo de 3 mais 2.
Como
, os coeficientes de ordem múltiplo de 3 mais 2 são todos nulos. Para obter as outras duas sequências podemos usar o método estudado no capítulo anterior: para
, definindo
obtemos:
em termos de fatoriais e funções gama temos:
Usando a substituição:
a Equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:
A solução pode agora ser obtida facilmente:
Para calcular a sequência correspondente a
, procedemos em forma semelhante. Em função de
, a fórmula de recorrência (Equação) é uma equação de primeira ordem:
e com a substituição
a equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:
com solução:
Finalmente, substituimos
na série de Maclaurin para obter a solução da equação diferencial:
onde
e
são duas constantes arbitrárias (condições iniciais para
e
em
). Em alguns casos as séries obtidas podem ser identificadas como a série de Maclaurin de alguma função conhecida.
Neste exemplo as séries não correspondem a nenhuma função conhecida, e constituem duas funções especiais designadas funções de Airy.
Raio de convergência
Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge (
é o valor da série quando
); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o chamado raio de convergência (
) e calcula-se a partir de:
Referências
- ↑ a b c d e Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas. Consultado em 13 de julho de 2013
- ↑ Buzzle.com, Accomplishments of Isaac Newton [em linha]
- ↑ a b Lecture 20 Newton's Invention of calculus [em linha]
Ligações externas
- Complex Power Series Module by John H. Mathews
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