Regulador quadrático linear

A teoria do controle ótimo lida com a operação de um sistema dinâmico com um custo mínimo. A situação onde a dinâmica do sistema é descrita por um conjunto de equações diferenciais lineares e o custo é descrito por uma função quadrática, é denominada problema QL. Um dos principais resultados na teoria é que a solução é provida pelo regulador quadrático linear (RQL), um controlador de retroalimentação criado pelo matemático Rudolf Kalman em 1960, cujas equações são descritas abaixo.

Horizonte-Infinito, RQL de Tempo Contínuo

Um sistema linear de tempo contínuo é descrito por

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}$

com um custo funcional definido como

${\displaystyle J=\int \limits _{0}^{\infty }\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru\right)dt}$

a lei de controle de retroalimentação que minimiza o valor do custo é

${\displaystyle u=-R^{-1}B^{T}Px\,}$

onde ${\displaystyle P}$ é encontrado ao se resolver a Equação Riccati

${\displaystyle A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=0\,}$

Horizonte-Infinito, RQL de Tempo Discreto

Um sistema linear de tempo discreto é descrito por

${\displaystyle x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}\,}$

com um índice de performance definido como

${\displaystyle J=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}\right)}$

a seqüência de controle ótimo minimizando o índice de performance é dado por

${\displaystyle u_{k}=-Fx_{k}\,}$

onde

${\displaystyle F={\tilde {R}}^{-1}B^{T}Px_{k}\,}$

${\displaystyle {\tilde {R}}=R+B^{T}PB}$

e ${\displaystyle P}$ é a solução para a equação algébrica Riccati discreta

${\displaystyle P=Q+A^{T}\left(P-PB\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}B^{T}P\right)A}$

Ver também

• Regulador linear

Ligações externas

• (em inglês)-Linear Quadratic Regulator

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