Partição da unidade

Em matemática, uma partição da unidade em um espaço topológico X é uma família de funções contínuas ${\displaystyle \{\rho _{i}\}_{i\in I}:X\to \left[0,1\right]\,}$ de forma que, para cada ponto ${\displaystyle x\in X}$:

• existe uma vizinhança de x em que todas, exceto uma quantidade finita, das funções são identicamente zero.
• a soma das funções em x é 1, ou seja

${\displaystyle \;\sum _{i\in I}\rho _{i}(x)=1}$.

Partição da unidade subordinada a uma cobertura

Dada uma cobertura do espaço topológico X por abertos ${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{i\in I}A_{i}\,}$, uma partição da unidade subordinada à cobertura {A_i} é uma partição da unidade ${\displaystyle \{\rho _{i}\}_{i\in I}:X\to \left[0,1\right]\,}$ em que para todo x existe um i tal que o suporte da função ρ_i está contido no aberto A_i.

Construção

Muitas vezes desejam-se propriedades adicionais para a partição da unidade, por exemplo, pode-se exigir que elas sejam infinitamente diferenciáveis - o que contradiz a intuição de que uma função que se anula em uma região e seja infinitamente diferenciável possa ter valores não-nulos fora dela. Uma ferramenta para construí-las se baseia na função exp(-1/x).

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