Homologia singular

Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos ${\displaystyle \{H_{p}^{s}(X)\}_{p\in \mathbb {N} }}$, e a cada aplicação contínua ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}$, entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos ${\displaystyle f_{*,p}:H_{p}^{s}(X)\rightarrow H_{p}^{s}(Y)}$ ${\displaystyle (p\in \mathbb {N} )}$.

Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante ${\displaystyle Hom\,\!}$ entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e os homomorfismos de grupos graduados em ${\displaystyle \mathbb {N} }$. É conveniente também, dado um espaço topológico ${\displaystyle X\,\!}$ e um subespaço ${\displaystyle A\subset X}$, definir a homologia singular relativa ${\displaystyle H(X,A)\,\!}$.

Definições associadas

Seja ${\displaystyle X\,\!}$ um espaço topológico, ${\displaystyle \Delta _{p}\,\!}$ o simplexo padrão p-dimensional, isto é;

${\displaystyle \Delta _{p}=\{(x_{1},...,x_{p})\in \mathbb {R} ^{p}|\sum _{i=1}^{p}{x_{i}}\leq 1\}.}$

Note que, ${\displaystyle \{e_{1},...,e_{p}\}\,\!}$, a base canônica do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ também é o conjunto dos pontos extremais do convexo ${\displaystyle \Delta _{p}\,\!}$.

Sejam também, para ${\displaystyle 1\leq j<p}$,

${\displaystyle F_{i}^{p}=[e_{1},...,{\hat {e_{i}}},...,e_{p-1}]:\mathbb {R} ^{p-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}}$,

a aplicação linear que leva ${\displaystyle e_{i}\,\!}$ em ${\displaystyle e_{i}\,\!}$, para ${\displaystyle i<j\,\!}$, e ${\displaystyle e_{i}\,\!}$ em ${\displaystyle e_{i+1}\,\!}$, para ${\displaystyle j\leq i<p}$.

${\displaystyle F_{i}^{p}}$ é o chamado i-ésimo operador face de ${\displaystyle \Delta _{p}\,\!}$.

Definimos o p-ésimo operador bordo sobre ${\displaystyle \Delta _{p}\,\!}$ como

${\displaystyle \partial _{p}:\Delta _{p-1}\rightarrow \Delta _{p}\,\!}$ dada por ${\displaystyle \partial _{p}(x)=\sum _{i=1}^{p}{(-1)^{i}F_{i}^{p}(x)}}$.

Construção do complexo singular

Definimos um p-simplexo singular de ${\displaystyle X\,\!}$ como uma aplicação contínua

${\displaystyle \sigma :\Delta _{p}\rightarrow X\,\!}$.

Definimos para ${\displaystyle p\geq 0}$ o p-ésimo grupo singular de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle G_{p}^{s}(X)}$, como sendo o grupo abeliano livre gerado pelos p-simplexos singulares de ${\displaystyle X}$. Note que podemos definir também ${\displaystyle \partial _{p}}$ agindo sobre ${\displaystyle G_{p}^{s}(X)}$. Podemos escrever um elemento qualquer de ${\displaystyle G_{p}^{s}(X)}$ como ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i}}$, onde os ${\displaystyle \sigma _{i}\,\!}$'s são p-simplexos singulares de ${\displaystyle X\,\!}$, e os ${\displaystyle c_{i}\,\!}$'s são inteiros não-nulos. Definimos ${\displaystyle \partial _{p}(\sum _{i=1}^{N}{c_{i}\sigma _{i}})}$ por ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{c_{i}\partial _{p}(\sigma _{i})}}$.

Portanto, ${\displaystyle \partial _{p}:G_{p}^{s}(X)\rightarrow G_{p-1}^{s}(X)}$ está bem definida.

Seja ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$. Chamamos de ${\displaystyle Nuc(\partial _{p})\,\!}$ de grupo dos p-ciclos singulares de X, que será denotado por ${\displaystyle Z_{p}^{s}(X)}$. De forma análoga, diremos que ${\displaystyle Im(\partial _{p+1})\,\!}$ é o grupo dos p-bordos singulares de X, que será denotado por ${\displaystyle B_{p}^{s}(X)}$. É fácil mostrar que ${\displaystyle \partial _{p}\partial _{p-1}=0\,\!}$, e que portanto, ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)=\{(G_{p}^{s}(X),\partial _{p})\}_{p\in \mathbb {N} }}$ define um complexo de cadeias, a que chamaremos de complexo de cadeias singulares associado ao espaço topológico ${\displaystyle X}$ Por definição, o p-ésimo grupo de Homologia de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ é grupo ${\displaystyle H_{p}^{s}(X)=Z_{p}^{s}(X)/B_{q}^{s}(X)}$.