Fórmula de Riemann–Siegel

Em matemática a fórmula Riemann-Siegel é uma fórmula assintótica para o erro da equação funcional aproximada da função zeta de Riemann, uma aproximação da função zeta pela soma de duas séries de Dirichlet finitas. Ela foi encontrada por Siegel (1932)[1] em manuscritos não publicados de Bernhard Riemann datando dos anos 1850. Siegel derivou-a da fórmula integral Riemann-Siegel, uma expressão da função zera envolvendo integrais de contorno. Ela é frequentemente usada para calcular valores da fórmula de Riemann-Siegel, algumas vezes em combinação com o algoritmo de Odlyzko-Schönhage o qual a acelera consideravelmente.

Se M e N são inteiros não negativos, então a função zeta é igual a

ζ ( s ) = ∑ n = 1 N 1 n s + γ ( 1 − s ) ∑ n = 1 M 1 n 1 − s + R ( s ) {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)}

onde

γ ( s ) = π 1 / 2 − s Γ ( s / 2 ) / Γ ( ( 1 − s ) / 2 ) {\displaystyle \displaystyle \gamma (s)=\pi ^{1/2-s}\Gamma (s/2)/\Gamma ((1-s)/2)}

é o fator aparecendo na equação funcional ζ(s) = γ(s)ζ(1−s), e

R ( s ) = − Γ ( 1 − s ) 2 π i ∫ ( − x ) s − 1 e − N x d x e x − 1 {\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}dx}{e^{x}-1}}}

é uma integral de contorno na qual o contorno inicia e termina em +∞ e circula as singularidades de valor absoluto no máximo 2πM. A equação funcional aproximada da uma estimativa para o tamanho do termo erro.

Siegel (1932)[1] e Edwards (1974)[2] derivam a fórmula Riemann-Siegel disto por aplicação do método da descida mais íngreme a esta integral para obter uma expansão assintótica para o termo erro R(s) como uma série de potências negativas de Im(s).

Em aplicações s é normalmente sobre a linha crítica, e os inteiros positivos M e N são escolhidos para serem aproximadamente (2π Im(s))1/2. Gabcke (1979)[3] encontrou encontraram limites bom para o erro da fórmula de Riemann-Siegel.

Fórmula integral de Riemann

Riemann mostrou que

∫ 0 ↘ 1 e − i π u 2 + 2 π i p u d u e π i u − e − π i u = e i π p 2 − e i π p e i π p − e − i π p {\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}du}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}}

onde o contorno de integração é uma linha de declive −1 passando entre 0 e 1 (Edwards, 1974, 7.9[2]).

Ele usou isto para obter a seguinte formula integral para a função zeta:

π − s / 2 Γ ( s / 2 ) ζ ( s ) = {\displaystyle \displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)=}
π − s / 2 Γ ( s / 2 ) ∫ 0 ↙ 1 x − s e π i x 2 e π i x − e − π i x d x + π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( ( 1 − s ) / 2 ) ∫ 0 ↘ 1 x s − 1 e − π i x 2 e π i x − e − π i x d x {\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}dx+\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma ((1-s)/2)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}dx}

Referências gerais

  • Berry, Michael V.; "The Riemann-Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders", Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences 450 (1939): 439–462, doi:10.1098/rspa.1995.0093, MR1349513, ISSN 0962-8444
  1. ↑ a b Siegel, C. L. (1932), "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2: 45-80 Relançado em Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
  2. ↑ a b Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, MR0466039, ISBN 978-0-486-41740-0
  3. ↑ Gabcke, Wolfgang (1979), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel, Georg-August-Universität Göttingen

Ligações externas

  • Gourdon, X., Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function (em inglês)
  • Weisstein, Eric W., Riemann-Siegel Formula no MathWorld. (em inglês)