Desigualdade de Jensen

A desigualdade de Jensen generaliza a afirmação de que uma linha secante de uma função convexa está acima de seu gráfico
Visualizando a convexidade e a desigualdade de Jensen

Em matemática, a desigualdade de Jensen, em homenagem ao matemático dinamarquês Johan Jensen, relaciona o valor de uma função convexa de uma integral com a integral da função convexa. Ela foi provada por Jensen em 1906,[1] com base em uma demonstração anterior da mesma desigualdade para funções duplamente diferenciáveis ​​por Otto Hölder em 1889.[2] Dada sua generalidade, a desigualdade aparece em muitas formas, dependendo do contexto, algumas das quais são apresentadas abaixo. Em sua forma mais simples, a desigualdade afirma que a transformação convexa de uma média é menor ou igual à média aplicada após a transformação convexa; é um corolário simples que o oposto é verdadeiro para transformações côncavas.[3]

A desigualdade de Jensen generaliza a afirmação de que a linha secante de uma função convexa está acima do gráfico da função, que é a desigualdade de Jensen para dois pontos: a linha secante consiste em médias ponderadas da função convexa (for t ∈ [0,1]),

t f ( x 1 ) + ( 1 − t ) f ( x 2 ) , {\displaystyle tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),}

enquanto o gráfico da função é a função convexa das médias ponderadas,

f ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) . {\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2}).}

Assim, a desigualdade de Jensen é

f ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ t f ( x 1 ) + ( 1 − t ) f ( x 2 ) . {\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}

No contexto da teoria da probabilidade, geralmente é declarado da seguinte forma: se X é uma variável aleatória e φ é uma função convexa, então

φ ( E ⁡ [ X ] ) ≤ E ⁡ [ φ ( X ) ] . {\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}

A diferença entre os dois lados da desigualdade, E ⁡ [ φ ( X ) ] − φ ( E ⁡ [ X ] ) {\displaystyle \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right]-\varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)} , é chamado de intervalo de Jensen.[4]

Referências

  1. ↑ Jensen, J. L. W. V. (1906). «Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes». Acta Mathematica. 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571Acessível livremente 
  2. ↑ Guessab, A.; Schmeisser, G. (2013). «Necessary and sufficient conditions for the validity of Jensen's inequality». Archiv der Mathematik. 100 (6): 561–570. MR 3069109. doi:10.1007/s00013-013-0522-3 
  3. ↑ Dekking, F.M.; Kraaikamp, C.; Lopuhaa, H.P.; Meester, L.E. (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How. Col: Springer Texts in Statistics. London: Springer. ISBN 978-1-85233-896-1. doi:10.1007/1-84628-168-7 
  4. ↑ Gao, Xiang; Sitharam, Meera; Roitberg, Adrian (2019). «Bounds on the Jensen Gap, and Implications for Mean-Concentrated Distributions» (PDF). The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications. 16 (2). arXiv:1712.05267Acessível livremente 

Bibliografia

  • David Chandler (1987). Introduction to Modern Statistical Mechanics. [S.l.]: Oxford. ISBN 0-19-504277-8 
  • Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
  • Nicola Fusco; Paolo Marcellini; Carlo Sbordone (1996). Analisi Matematica Due. [S.l.]: Liguori. ISBN 978-88-207-2675-1 
  • Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis. [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1 
  • Rick Durrett (2019). Probability: Theory and Examples 5th ed. [S.l.]: Cambridge University Press. 430 páginas. ISBN 978-1108473682. Consultado em 21 de dezembro de 2020 
  • Sam Savage (2012) The Flaw of Averages: Why We Underestimate Risk in the Face of Uncertainty (1st ed.) Wiley. ISBN 978-0471381976

Ligações externas

  • Jensen's Operator Inequalityof Hansen and Pedersen.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Jensen inequality», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
  • Weisstein, Eric W. «Jensen's inequality» (em inglês). MathWorld 
  • Arthur Lohwater (1982). «Introduction to Inequalities». Online e-book in PDF format 
  • Portal da matemática