Derivada de segunda ordem

A derivada de segunda ordem de uma função, ou segunda derivada, representa a derivada da derivada desta função. Em símbolos, a derivada de segunda ordem pode ser representada por ${\displaystyle y\prime \prime }$ ou ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$, sendo y função de x. De forma rudimentar, pode-se dizer que a derivada de segunda ordem de uma função mede a taxa de variação da própria variação desta função. Por exemplo, a derivada de segunda ordem da posição de um objeto em relação ao tempo é a aceleração instantânea deste objeto, que seria a taxa de variação da velocidade do mesmo.

Fórmulas e cálculos

A derivada de segunda ordem de uma função ${\displaystyle f(x)}$ (em relação a ${\displaystyle x}$) é a derivada da derivada da função ${\displaystyle f(x)}$, ambas em relação a x. Matematicamente,

${\displaystyle {\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)}$.

Sua representação de limite é: ${\displaystyle {\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}=\lim \limits _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)}{\Delta x^{2}}}}$.

Por ser a derivada da derivada a integral da derivada de segunda ordem é ${\displaystyle \int {{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}dx}={\frac {df(x)}{dx}}+C}$.

Analogamente, as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de dois argumentos ${\displaystyle f(x,y)}$ são:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right)}$, ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right)}$ e ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right)}$.

Aplicação

A concavidade^[1] de uma função é obtida através da derivada segunda, igualando-a a zero. Após obter as raízes da derivada segunda põe-se numa reta ordenada, com sua respectivas raízes. Fazendo análise: Substitui-se um número facilitador nas extremidades e entre as raízes, se o sinal obtido for positivo a concavidade é voltada para cima; se for negativo a concavidade é voltada para baixo.

Derivada de segunda ordem na física

Se ${\displaystyle x(t)}$ é a função que do movimento rectilíneo de um objeto, a derivada de segunda ordem ${\displaystyle x\prime \prime (t)}$ do mesmo no instante ${\displaystyle t}$ representa sua aceleração. Analogamente, se ${\displaystyle P(t)}$ é uma função vectorial que especifica o movimento de um ponto, o vetor aceleração do mesmo será ${\displaystyle {\frac {d^{2}P(t)}{dt^{2}}}}$. Para as derivadas de segunda ordem de funções vetoriais, a mesma regra vale: é a derivada da derivada da função vectorial, no caso.

Referências