Na matemática, um conjunto de Vitali é um subconjunto dos números reais, que pode ser construído, mas cuja existência é consequência do axioma da escolha, e que serve como contra-exemplo para várias propriedades ou como bloco construtor de vários paradoxos.
Em resumo, ele é um conjunto de números reais tal que qualquer número real é a soma de um único elemento dele e um único número racional.
Construção
Seja
a relação em
definida por
. Como essa relação é de equivalência, podemos escolher (e nesse ponto estamos conjurando o axioma da escolha) um representante de cada classe de equivalência. O Conjunto de Vitali é esse conjunto formado pelos representantes de cada classe de equivalência.
Aqui cabe uma observação: o axioma da escolha garante que esse conjunto existe, mas não garante que ele seja único; então devíamos dizer um (em vez de o) Conjunto de Vitali.
O conjunto de Vitali não é mensurável a Lebesgue
Denote por
um conjunto de Vitali e por
a medida exterior de Lebesgue.
Considere
uma enumeração para
e construa o conjunto:
, onde: ![{\displaystyle V+r_{j}=\{x+r_{j}:x\in V\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b2f50b5a2b5f1d8974f9aa22a76dab45d50831)
Vamos mostrar agora as inclusões:
![{\displaystyle [0,1]\subseteq S\subseteq [-1,2]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c54cd72d148bf7eb972e41783a97829bd2ed27)
Da forma como foi construído o conjunto, temos:
![{\displaystyle V\subseteq [0,1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127702653cd3f9950cf5dee38398ed983fb711fd)
Então, se
e
, vale
.
Agora, seja
. Então, existe
tal que
, ou seja,
.
Como
, temos que
e
para algum
. Logo,
.
Vamos mostrar agora que os conjuntos
são disjuntos. Para tal, considere um elemento
na intersecção de dois destes conjuntos:
![{\displaystyle x\in \left(V+r_{i}\right)\cap \left(V+r_{j}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8399427e4bef22c7c980cd725f925533c23c9bf)
Então:
com ![{\displaystyle y,z\in V\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbcb3602f5785230b65d1cb19729851e90f1bf6)
Logo:
![{\displaystyle y-z=r_{j}-r_{i}\in \mathbb {Q} \Longrightarrow y\sim z\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497122634d9659517690b31522fbc61c7ba14cca)
Como o conjunto de Vitali foi construído tomando apenas um elemento de cada classe de equivalência,
, o que implica
e, portanto,
.
Finalmente, podemos provar que
não é mensurável. Partimos da estimativa:
![{\displaystyle \mu ([0,1])\leq \mu ^{*}(S)\leq \mu ([-1,2])\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffdefcaa5500e524090e6bc6ef0247e744eb4a9b)
![{\displaystyle 1\leq \mu ^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(V+r_{j})\right)\leq 3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe232c5ccd8e4c6db2edf3a053be7092522b7eaa)
Para terminar o resultado considere
mensurável e observe que a medida de Lebesgue é
-aditiva e invariante por translações. O que nos leva à seguinte expressão:
![{\displaystyle 1\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (V)\leq 3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4182123dba23d807a34b620d94bc904a10b4c5)
O somatório é finito apenas se
for nulo, caso em que a soma é também nula e portanto inferior a 1.