Conjetura Oesterlé–Masser

Em matemática, a conjetura Oesterlé–Masser ou conjetura abc é um problema em aberto em teoria dos números. Ela foi primeiramente proposta por Joseph Oesterlé ^[1] e David Masser ^[2] respetivamente em 1988 e 1985. A conjectura do ABC teve origem como resultado de tentativas de Oesterlé e Masser de entender a conjectura de Szpiro sobre curvas elípticas, que envolve estruturas mais geométricas em sua afirmação do que a conjectura abc. A conjectura abc mostrou-se equivalente à conjectura modificada de Szpiro.

Uma série de conjecturas famosas e teoremas na teoria dos números seguiriam imediatamente da conjectura abc ou de suas versões. Goldfeld (1996) descreveu a conjectura do ABC como "o problema não resolvido mais importante na análise diofantina".

Prova de Mochizuki

Em agosto de 2012, o matemático Shinichi Mochizuki^[3] disponibilizou uma série de quatro artigos contendo uma séria alegação que ele tinha obtido uma demonstração da conjetura abc^[4]. Três anos depois, 2015, a prova de Mochizuki permanece no limbo matemático - nem desmentida nem aceita pela comunidade em geral. Mochizuki estimou que levaria a um estudante de graduação de matemática cerca de 10 anos para ser capaz de entender o seu trabalho, e muitos especialistas acreditam que levaria até mesmo um especialista em geometria aritmética cerca de 500 horas. Até agora, apenas quatro matemáticos dizem terem sido capazes de ler e entender a prova inteira.

Caso Particular para a Conjectura do abc

Seja a,b,c ∈ N, de tal forma que temos c = b + a, ao fazer as operações necessárias chegaremos em ${\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})}$ ou ${\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})}$, com k ∈ Ne i índice, onde rad[${\displaystyle c.b.a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})]>c^{2^{k}}}$ ou rad[${\displaystyle c.b.a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})]>c^{2^{k}}}$.

Demonstração

Dado a equação c = b + a ao multiplicar ambos os lados por b resulta em ${\displaystyle c.b=b^{2}+a.b}$, como b = c- a ao substituir no primeiro membro da igualdade temos ${\displaystyle c.(c-a)=b^{2}+a.b}$ ⇒ ${\displaystyle c^{2}-a.c=b^{2}+a.b}$ ⇒ ${\displaystyle c^{2}=b^{2}+a.b+a.c}$⇒ ${\displaystyle c^{2}=b^{2}+a.(b+c)}$( & ).

Ao Multiplicar ( & ) por ${\displaystyle c^{2}}$ temos ${\displaystyle c^{4}=b^{2}.c^{2}+a.c^{2}.(b+c)}$ ao substituir o 1ª ${\displaystyle c^{2}}$ por ${\displaystyle b^{2}+a.(b+c)}$, temos ${\displaystyle c^{4}=b^{2}.[b^{2}+a.(b+c)]+a.c^{2}.(b+c)}$ ⇒ ${\displaystyle c^{4}=b^{4}+a.b^{2}.(b+c)+a.c^{2}.(b+c)}$ ⇒ ${\displaystyle c^{4}=b^{4}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2})}$ ( && ).

Ao Multiplicar ( && ) por ${\displaystyle c^{4}}$ temos${\displaystyle c^{8}=b^{4}.c^{4}+a.c^{4}.(b+c).(b^{2}+c^{2})}$ ao substituir o 1ª ${\displaystyle c^{4}}$ por ${\displaystyle b^{4}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2})}$, temos ${\displaystyle c^{8}=b^{4}.[b^{4}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2})]+a.c^{4}.(b+c).(b^{2}+c^{2})}$ ⇒ ${\displaystyle c^{8}=b^{8}+a.b^{4}.(b+c).(b^{2}+c^{2})+a.c^{4}.(b+c).(b^{2}+c^{2})}$ ⇒ ${\displaystyle c^{8}=b^{8}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})}$ ( &&& ).

Ao Multiplicar ( &&& ) por ${\displaystyle c^{8}}$ temos ${\displaystyle c^{16}=b^{8}.c^{8}+a.c^{8}.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})}$ao substituir o 1ª ${\displaystyle c^{8}}$ por ${\displaystyle b^{8}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})}$, temos ${\displaystyle c^{16}=b^{8}.[b^{8}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})]+a.c^{8}.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})}$ ⇒ ${\displaystyle c^{16}=b^{16}+a.b^{8}.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})+a.c^{8}.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})}$ ⇒ ${\displaystyle c^{16}=b^{16}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4}).(b^{8}+c^{8})}$ ( &&&& ).

Se continuarmos com a mesma lógica matemática teremos uma sequência no 1ª membro como ${\displaystyle S_{k}(1):c^{1},c^{2},c^{4},c^{8},c^{16},...,c^{2^{k}}}$ com k≥0 ,o mesmo ocorre com o 2ª membro em relação a potência isso é ${\displaystyle S_{k}(2):b^{1},b^{2},b^{4},b^{8},b^{16},...,b^{2^{k}}}$ com k≥0, note que a outra parte do 2ª membro temos; ${\displaystyle a.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4}).(b^{8}+c^{8}).(b^{16}+c^{16}).(b^{32}+c^{32})...(b^{2^{k-1}}+c^{2^{k-1}})}$ (Pro), mas ao ignorarmos a o restante é um produtório sendo assim podemos escrever (Pro) como ${\displaystyle Pro=a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})}$ ou ${\displaystyle Pro=a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})}$.

Portanto temos como equações:

${\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})}$ ou ${\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})}$, desde que c = b + a

Se caso c for primo temos que rad(${\displaystyle c^{2^{k}}}$)=c, o mesmo para b se for primo rad(${\displaystyle b^{2^{k}}}$)=b, caso algum seja um número composto teremos; ${\displaystyle c=\prod _{j=1}^{\omega (c)}p_{j}^{\alpha _{j}}}$ ⇒ rad(${\displaystyle c^{2^{k}}}$)=rad(${\displaystyle c=\prod _{j=1}^{\omega (c)}p_{j}^{\alpha _{j}}}$) ${\displaystyle =p_{1}.p_{2}.p_{3}.p_{4}...p_{j}}$, com ${\displaystyle p_{j}}$ primos, de forma análoga temos rad(${\displaystyle b^{2^{k}}}$)=rad(${\displaystyle b=\prod _{j=1}^{\omega (b)}p_{j}^{\alpha _{j}}}$) ${\displaystyle =p_{1}.p_{2}.p_{3}.p_{4}...p_{j}}$, todavia (Pro) já é composto então rad(Pro)${\displaystyle =rad(rad(a).p_{1}.p_{2}.p_{3}.p_{4}...p_{j})}$ ≥ ${\displaystyle q.p_{1}.p_{2}.p_{3}.p_{4}...p_{j}}$ . Onde rad(a)≥q com q um número primo.

Então rad(${\displaystyle a,b,c}$) = rad(${\displaystyle c^{2^{k}}.b^{2^{k}}.Pro}$) ≥ ${\displaystyle rad(c.b.a.rad(Pro))}$ ${\displaystyle >c^{2^{k}}}$. isso é valido pois c > b ou c > a e b ≥ a ou a ≥ b, já que c = b + a.

Exemplo com Números

Possibilidades seja c=13 , então b + a, há uma finidade de combinação tipo b = 10 e a = 3 , b = 11 e a = 2, b = 9 e a = 4, b = 8 e a = 5, pode ser qualquer combinação nos naturais dede que c = b + a, o mais simples nesse caso é b=12 e a=1.

Exemplo(1) dada a igualdade 13 = 7 + 6 então c=13, b=7 e a=6 ou 13 = 6 + 7 então c=13, a=7 e b=6 (Usando qualquer uma será valida), com k variando de 1 até 3, optando por c=13, b=7 e a=6 temos:

Para k=1 isso é;

${\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{2^{1}}=7^{2^{1}}+6.\prod _{i=1}^{1}(7^{2^{i-1}}+13^{2^{i-1}})}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{2}=7^{2}+6.(7^{2^{0}}+13^{2^{0}})}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{2}=7^{2}+6.(7+13)}$ ${\displaystyle 13^{2}=7^{2}+6.20}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{2}=7^{2}+2.3.5.2^{2}}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{2}=7^{2}+2^{3}.3.5}$ então rad (${\displaystyle 13^{2}.7^{2}.2^{3}.3.5}$)${\displaystyle =13.7.2.3.5=2730>13^{2}=169}$

Para k=2 isso é;

${\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{2^{2}}=7^{2^{2}}+6.\prod _{i=1}^{2}(7^{2^{i-1}}+13^{2^{i-1}})}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{4}=7^{4}+6.(7^{1}+13^{1}).(7^{2}+13^{2})}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{4}=7^{4}+6.20.(49+169)}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{4}=7^{4}+6.20.218}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{4}=7^{4}+2^{4}.3.5.109}$ então rad (${\displaystyle 13^{4}.7^{4}.2^{4}.3.5.109}$)${\displaystyle =13.7.2.3.5.109=297570>13^{4}=28561}$

Para k=3 isso é;

${\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{2^{3}}=7^{2^{3}}+6.\prod _{i=1}^{3}(7^{2^{i-1}}+13^{2^{i-1}})}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{8}=7^{8}+6.(7^{1}+13^{1}).(7^{2}+13^{2}).(7^{4}+13^{4})}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{8}=7^{8}+6.(20).(218).(2401+28561)}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{8}=7^{8}+2^{4}.3.5.109.(2401+28561)}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{8}=7^{8}+2^{4}.3.5.109.(30962)}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{8}=7^{8}+2^{4}.3.5.109.(2.113.137)}$ ⇒ ${\displaystyle 13^{8}=7^{8}+2^{5}.3.5.109.113.137}$ então rad (${\displaystyle 13^{8}.7^{8}.2^{5}.3.5.109.113.137}$)${\displaystyle =13.7.2.3.5.109.113.137=4606681170>13^{8}=815730721}$

Utilidade

Suponhamos que queremos encontrar certos divisores das diferenças de duas potências que tenham essas propriedades descritas anteriormente, exemplo o Pequeno Teorema de Fermat que é ${\displaystyle a^{p-1}}$≡${\displaystyle 1mod(p)}$, com a ∈ Ζ e p primo, de forma algébrica isso é ∃ t ∈ Z tal que ${\displaystyle t={\frac {a^{p-1}-1}{p}}}$.

Nesse caso do pequeno teorema de Fermat em relação a formula, temos a seguinte situação particular, transcrevendo a forma algébrica do pequeno teorema de Fermat para se adequar isso é ${\displaystyle p-1=2^{k}}$ ⇒ ${\displaystyle p=2^{k}+1}$, como ${\displaystyle c=a+b}$ gerou

${\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})}$ ⇒ ${\displaystyle a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})=c^{2^{k}}-b^{2^{k}}}$

, então usando as adaptações isso é no lugar de c=a , b=1 , e a=p isso nos dar como fórmula;

${\displaystyle p.\prod _{i=1}^{k}(1^{2^{i-1}}+a^{2^{i-1}})=a^{2^{k}}-1^{2^{k}}}$ ⇒ ${\displaystyle p.\prod _{i=1}^{k}(1^{2^{i-1}}+a^{2^{i-1}})=a^{p-1}-1}$ ⇒ ${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(1+a^{2^{i-1}})={\frac {a^{p-1}-1}{p}}}$ ⇔ ${\displaystyle p=2^{k}+1}$ e ${\displaystyle a=p+1}$

Portanto os divisores de ${\displaystyle a^{p-1}-1}$ é p e ${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(1+a^{2^{i-1}})=t}$.

Para facilitar as operações a fórmula para o Pequeno Teorema de Fermat pode ficar escrita como;

${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{p}}}$ ⇒ ${\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇔ ${\displaystyle p=2^{k}+1}$

Isso significa se p não for primo então t ∈ Q baseado no Teorema Pequeno teorema de Fermat.

Exemplo(1)

para k=1 então ${\displaystyle p=2^{k}+1=2^{1}+1=3}$

${\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 3={\frac {(3+1)^{3-1}-1}{\prod _{i=1}^{1}(1+(3+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 3={\frac {4^{2}-1}{(1+(4)^{2^{0}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 3={\frac {16-1}{(1+4)}}}$ ⇒ ${\displaystyle 3={\frac {15}{5}}}$ ⇒ ${\displaystyle 3=3}$

Satisfez a igualdade então 3 é primo.

Exemplo(2)

para k=2 então ${\displaystyle p=2^{k}+1=2^{2}+1=5}$

${\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 5={\frac {(5+1)^{5-1}-1}{\prod _{i=1}^{2}(1+(5+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 5={\frac {6^{4}-1}{(1+6).(1+6^{2})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 5={\frac {1296-1}{7.37}}}$ ⇒ ${\displaystyle 5={\frac {1295}{7.37}}}$ ⇒ ${\displaystyle 5={\frac {5.7.37}{7.37}}}$ ⇒ ${\displaystyle 5=5}$

Satisfez a igualdade então 5 é primo.

O que irão ver quando k=3 e k=5, é uma contradição do Pequeno teorema de Fermat, o que o pequeno Teorema de Fermat diz ? seja mdc(a,p)=1 isso é a e p primo entre se, então ${\displaystyle p/(a^{p-1}-1)}$ ⇔ ${\displaystyle p}$ for primo, intenda que mdc( p + 1 , p) = 1.

Exemplo(3)

para k=3 então ${\displaystyle p=2^{k}+1=2^{3}+1=9}$

${\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 9={\frac {(9+1)^{9-1}-1}{\prod _{i=1}^{3}(1+(9+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 9={\frac {10^{8}-1}{(1+10).(1+10^{2}).(1+10^{4})}}}$

Satisfez a igualdade porém 9 não é primo, note que o mdc(10,9)=1, então a divisão não era para ter resultado em um inteiro porém foi o que ocorreu então é uma falha no pequeno teorema de Fermat.

Exemplo(4)

para k=4 então ${\displaystyle p=2^{k}+1=2^{4}+1=17}$

${\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 17={\frac {(17+1)^{17-1}-1}{\prod _{i=1}^{4}(1+(17+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 17={\frac {18^{16}-1}{(1+18).(1+18^{2}).(1+18^{4}).(1+18^{8})}}}$ ⇒

Satisfez a igualdade então 17 é primo.

Exemplo(5)

para k=5 então ${\displaystyle p=2^{k}+1=2^{5}+1=33}$

${\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 33={\frac {(33+1)^{33-1}-1}{\prod _{i=1}^{5}(1+(33+1)^{2^{i-1}})}}}$ ⇒ ${\displaystyle 33={\frac {34^{32}-1}{(1+34).(1+34^{2}).(1+34^{4}).(1+34^{8}).(1+34^{16})}}}$

Satisfez a igualdade porém 33 não é primo, portanto outra falha do Pequeno Teorema de Fermat.

Diferença de duas potências

Sempre que haver uma diferença de duas potências do tipo ${\displaystyle c^{2^{k}}-b^{2^{k}}}$ é sempre divisível por a e ${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})}$ ou ${\displaystyle \prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})}$, dito isso é só adaptar as as bases e expoentes necessário como foi feito para o Pequeno teorema de Fermat.

Ver também

• Problemas do Milênio
• Problemas de Smale

Referências

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• Portal da matemática