Zespół kanoniczny

Zespół kanoniczny – zespół stanów pewnego układu kontaktującego się termicznie ze zbiornikiem o ustalonej temperaturze. Prawdopodobieństwo, że układ ten znajdzie się w określonym stanie o energii E_i jest dane rozkładem kanonicznym

${\displaystyle P(E_{i})={\frac {\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)}{Z}},}$

gdzie

k – stała Boltzmanna,

T – temperatura zbiornika,

Z – suma statystyczna.

Wzór na sumę statystyczną wynika z warunku unormowania rozkładu po całym zespole kanonicznym do jedności

${\displaystyle Z=\sum \limits _{i=1}^{N}{\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)},}$

gdzie:

N – liczba możliwych stanów układu.

Średnią wartość pewnego parametru θ tego układu można wyznaczyć ze wzoru

${\displaystyle \left\langle \theta \right\rangle =\sum \limits _{i=1}^{N}{\theta _{i}P\left(E_{i}\right)},}$

czyli

${\displaystyle \left\langle \theta \right\rangle ={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}{\theta _{i}\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)}}{\sum \limits _{i=1}^{N}{\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)}}}.}$

Związek z termodynamiką

Kanoniczna suma statystyczna jest powiązana z energią swobodną Helmholtza zależnością

${\displaystyle F=-kT\ln(Z).}$

Dla układu kanonicznego energia swobodna nigdy nie rośnie.

Energia w układzie kanonicznym

${\displaystyle \langle E\rangle =-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln(Z),}$

gdzie:

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}},}$

${\displaystyle k}$ – stała Boltzmana,

${\displaystyle T}$ – temperatura.

Natomiast dyspersja względna ${\displaystyle {\frac {\sigma _{E}}{\langle E\rangle }}\simeq {\frac {1}{\sqrt {N}}}}$ więc przy liczbach cząstek rzędu liczby Avogadry (~10²³), średnia energia jest stała, dlatego też można ją utożsamiać z energią wewnętrzną ${\displaystyle U.}$

Zobacz też

• termodynamika statystyczna
• układ mikrokanoniczny
• układ wielki kanoniczny

Bibliografia

• F. Reif: Fizyka statystyczna. Warszawa: PWN, 1973.brak strony w książce
• Kerson Huang: Mechanika statystyczna. Warszawa: PWN, 1978.brak strony w książce
• Kacper Zalewski: Wykłady z termodynamiki fenomenologicznej i statystycznej. Warszawa: PWN, 1969.brak strony w książce