Zasada Cavalieriego

Zasada Cavalieriego^[1] – metoda obliczania objętości brył przestrzennych, odkryta przez Archimedesa i opisana ponownie przez XVII-wiecznego matematyka włoskiego, Bonaventurę Cavalieriego. Obecnie uogólniona na wielowymiarową miarę Lebesgue’a oraz abstrakcyjne przestrzenie z miarą produktową. Zasada Cavalieriego, w swoim oryginalnym sformułowaniu, mówi że^[2]:

Jeśli dwie bryły mają tę własność, że ich przekroje wszystkimi płaszczyznami równoległymi do jednej, z góry ustalonej płaszczyzny, mają te same pola, to te bryły mają równe objętości.

Twierdzenie to zwykle wystarcza do obliczania objętości znanych brył, jak np. stożek czy elipsoida, jednak może być w naturalny sposób uogólnione na język współczesnej matematyki.

Wstępne definicje

Niech ${\displaystyle N,N_{1},N_{2}}$ będą takimi liczbami naturalnymi, że ${\displaystyle N=N_{1}+N_{2}.}$ Wówczas można dokonać utożsamienia:

${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}=\mathbb {R} ^{N_{1}}\times \mathbb {R} ^{N_{2}}.}$

Niech ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{N},\,x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}},\,x_{2}\in \mathbb {R} ^{N_{2}}}$ oraz ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})}$ oznacza element przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}.}$ Zbiory

• ${\displaystyle A_{x_{1}}=\{x_{2}\in \mathbb {R} ^{N_{2}}\colon \,(x_{1},x_{2})\in A\},}$
• ${\displaystyle A^{x_{2}}=\{x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}}\colon \,(x_{1},x_{2})\in A\}}$

nazywane są, odpowiednio, cięciem górnym (wzdłuż punktu ${\displaystyle x_{1})}$) i cięciem dolnym (wzdłuż punktu ${\displaystyle x_{2}}$) zbioru ${\displaystyle A.}$

Niech ponadto

• ${\displaystyle \pi _{1}(A)=\{x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}}\colon \,(\exists x_{2}\in \mathbb {R} ^{N_{2}})(x_{1},x_{2})\in A\},}$
• ${\displaystyle \pi _{2}(A)=\{x_{2}\in \mathbb {R} ^{N_{2}}\colon \,(\exists x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}})(x_{1},x_{2})\in A\},}$

tzn. ${\displaystyle \pi _{1}(A),\pi _{2}(A)}$ są rzutowaniami zbioru ${\displaystyle A}$ na przestrzenie, odpowiednio, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{1}}}$ i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{2}}.}$ Symbolami ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N},{\mathcal {L}}_{N_{1}},{\mathcal {L}}_{N_{2}}}$ oznaczane tu będą σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a względem, odpowiednio, ${\displaystyle N{\text{-}},}$ ${\displaystyle N_{1}{\text{-}}}$ i ${\displaystyle N_{2}}$-wymiarowej miary Lebesgue’a ${\displaystyle l_{N},l_{N_{1}},l_{N_{2}}.}$

Zasada Cavalieriego

Jeśli ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}_{N},}$ to

• dla prawie wszystkich ${\displaystyle x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}}}$ zbiór ${\displaystyle A_{x_{1}}}$ jest mierzalny w sensie ${\displaystyle N_{2}}$-wymiarowej miary Lebesgue’a,
• funkcja ${\displaystyle x_{1}\mapsto l_{2}(A_{x_{1}})}$ jest mierzalna,
• ${\displaystyle l_{N}(A)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{N_{1}}}l_{N_{2}}(A_{x_{1}})dl_{N_{1}}(x_{1}).}$

Jeżeli ponadto, ${\displaystyle \pi _{1}(A)\in {\mathcal {L}}_{N_{1}},}$ to

${\displaystyle l_{N}(A)=\int \limits _{\pi _{1}(A)}l_{N_{2}}(A_{x_{1}})dl_{N_{1}}(x_{1}).}$

Komentarze

• Cięcia ${\displaystyle A_{x_{1}},A^{x_{2}}}$ są mierzalne dla prawie wszystkich ${\displaystyle x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}},x_{2}\in \mathbb {R} ^{N_{2}}.}$ Jest to konsekwencją faktu, iż σ-ciało produktowe ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N_{1}}\otimes {\mathcal {L}}_{N_{2}}}$ jest zawarte w sposób właściwy w ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N},}$ tzn. istnieją takie zbiory postaci ${\displaystyle A\times B\in {\mathcal {L}}_{N},}$ gdzie ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{N_{1}},B\subseteq \mathbb {R} ^{N_{2}},}$ że zbiór ${\displaystyle A}$ lub zbiór ${\displaystyle B}$ nie jest mierzalny względem odpowiedniego σ-ciała.

• Zasadę Cavalieriego używa się często do dowodu twierdzenia Fubiniego – z drugiej strony, jeżeli dowód twierdzenia Fubiniego prowadzony jest bez jej to użycia, to wtedy można uznać ją za wniosek tego twierdzenia.

Zobacz też

• twierdzenie Fubiniego
• twierdzenie Guldina

Przypisy

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.brak strony w książce
• Krzysztof Maurin: Analiza. Część I. Elementy. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Zasada Cavalieriego, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, styczeń 2012, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19]  (pol.).