Twierdzenie Zermela

Twierdzenie Zermela a. twierdzenie o dobrym uporządkowaniu – twierdzenie teorii mnogości zapewniające (na gruncie teorii ZFC), że na każdym zbiorze można wprowadzić relację dobrego porządku. Opublikowane w 1904 roku przez Ernsta Zermela.

Wnioski

Dla dowolnych dwóch zbiorów ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ zachodzi

${\displaystyle {\overline {X}}\geqslant {\overline {Y}}}$ lub ${\displaystyle {\overline {Y}}\geqslant {\overline {X}},}$

gdzie przez ${\displaystyle {\overline {X}}}$ oznacza moc zbioru ${\displaystyle X.}$ Oznacza to, że

Moce dowolnych zbiorów są porównywalne

Jest tak, gdyż z twierdzenia Zermela każdy z danych dwóch zbiorów można dobrze uporządkować, a zatem zgodnie z twierdzeniem o zbiorach dobrze uporządkowanych jeden z nich jest odcinkiem początkowym drugiego, a co za tym idzie ma moc mniejszą lub równą od niego.

Związek z aksjomatem wyboru

Na gruncie teorii ZF zachodzi równoważność pomiędzy aksjomatem wyboru a twierdzeniem Zermela, tj. zakładając na gruncie ZF jedno z nich można udowodnić drugie.

Twierdzenie Zermela pociąga aksjomat wyboru

Istotnie, niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ będzie dowolną rodziną niepustych zbiorów. Z twierdzenia Zermela wynika, że istnieje dobry porządek ${\displaystyle \leqslant }$ na zbiorze ${\displaystyle F=\bigcup {\mathcal {F}}.}$ W szczególności każdy niepusty podzbiór zbioru ${\displaystyle F}$ ma element najmniejszy względem porządku ${\displaystyle \leqslant .}$ Jednakże dla każdego ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ zachodzi inkluzja ${\displaystyle A\subseteq F.}$ Wynika stąd, że przyporządkowanie

${\displaystyle A\mapsto \min {}_{\leqslant }A\quad (A\in {\mathcal {F}})}$

jest funkcją wyboru na ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ gdzie ${\displaystyle \min {}_{\leqslant }A}$ oznacza element najmniejszy w ${\displaystyle A}$ względem relacji ${\displaystyle \leqslant .}$

Bibliografia

• Thomas Jech, The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973.