Równanie różniczkowe Legendre’a

Równanie różniczkowe Legendre’a – liniowe równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego postaci:

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+n\left(n+1\right)y=0.}$

Jednym z rozwiązań tego równania przy ${\displaystyle n\in \mathbb {C} }$ są wielomiany Legendre’a (tzw. funkcje kuliste):

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}\cdot {\frac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}}.}$