Pierścień artinowski

Pierścień artinowski – pierścień R , {\displaystyle R,} w którym każdy zstępujący (w sensie inkluzji) ciąg I 1 ⊃ I 2 ⊃ I 3 ⊃ … {\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \dots } ideałów pierścienia R {\displaystyle R} stabilizuje się[1]. Pojęcie pierścienia artinowskiego zostało wprowadzone w 1944 roku przez Emila Artina[2].

Stabilizowanie się ciągu ideałów I i ⊂ R {\displaystyle I_{i}\subset R} oznacza, że:

∃ k ∈ N ∀ n > k   I n = I k {\displaystyle \exists _{k\in \mathbb {N} }\forall _{n>k}\ I_{n}=I_{k}} [1].

Jeśli dziedzina całkowitości R {\displaystyle R} jest pierścieniem artinowskim, to R {\displaystyle R} jest ciałem[3]. By udowodnić to twierdzenie, wystarczy rozpatrzeć ciąg s R ⊃ s 2 R ⊃ … , {\displaystyle sR\supset s^{2}R\supset \dots ,} (dla dowolnego s ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle s\in R\setminus \{0\}} ) i pokazać, że s {\displaystyle s} jest elementem odwracalnym[3][4].

Przypisy

  1. ↑ a b Rutkowski 2006 ↓, s. 178, Definicja 128.
  2. ↑ Emil Artin, [w:] Encyclopædia Britannica [dostęp 2022-10-03]  (ang.).
  3. ↑ a b Rutkowski 2006 ↓, s. 178, zad. 706.
  4. ↑ Rutkowski 2006 ↓, s. 356.

Bibliografia

  • Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14388-6. OCLC 76326157.

Linki zewnętrzne

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Artinian ring (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].