Obwód rezonansowy LC

Obwód rezonansowy LC – obwód elektryczny składający się z cewki (L) i kondensatora (C). Obwód może działać jako rezonator elektryczny, jest wówczas elektrycznym odpowiednikiem nietłumionego układu drgań mechanicznych. Układ taki wyprowadzony z równowagi wykonuje drgania swobodne przenosząc energię elektromagnetyczną z częstotliwością rezonansową między cewką a kondensatorem. Pobudzany drganiami okresowymi zachowuje się jak układ drgań wymuszonych, w stanie równowagi wykonuje drgania z częstotliwością pobudzania i amplitudą silnie zależną od częstotliwości.

Obwody rezonansowe znajdują szerokie zastosowania w radiotechnice, dzięki faworyzowaniu wąskiego przedziału częstotliwości, są wykorzystywane do generowania sygnałów o określonej częstotliwości, albo do wybierania sygnału o określonej częstotliwości z bardziej złożonego sygnału; ta funkcja nazywa się filtrem pasmowym. Są kluczowymi komponentami wielu urządzeń elektronicznych, w szczególności sprzętu radiowego, stosowanych w układach takich jak oscylatory, filtry i mieszacze.

W rozważaniach teoretycznych jest wyidealizowanym przypadkiem obwodu elektrycznego RLC, ale bez tłumienia wnoszonego przez rezystancję (R). Rzeczywiste obwody zawsze zawierają element tłumiący.

W obwodzie tym pobudzanym przez drgania okresowe w stanie równowagi z drganiami pobudzającymi zachodzi rezonans prądów (w równoległym) lub napięć (w szeregowym).

W stanie rezonansu, prąd i napięcie na zacisku obwodu rezonansowego są zgodne w fazie, a wypadkowa moc bierna pobierana przez obwód jest równa zeru, dlatego reaktancje sinusoidalnie zmienne znoszą swoją wartość poprzez występujący prąd w obwodzie.

Drgania obwodu LC

Kondensator naładowany

W obwodzie elektrycznym składającym się z kondensatora i cewki indukcyjnej energia może być zgromadzona w kondensatorze i cewce^[1]:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}Li^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{C}}.}$

Całkowita energia obwodu będąca sumą obu energii jest stała. Uwzględniając związek między ładunkiem na kondensatorze a natężeniem prądu oraz zakładając, że kondensator w chwili ${\displaystyle t=0}$ jest naładowany, równanie na ładunek na kondensatorze można wyrazić:

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}q=0.}$

Równanie to jest matematycznym odpowiednikiem równania drgań np. masy na sprężynie. Obwód LC wykonuje drgania swobodne z częstotliwością. Wzór określający częstotliwość drgań nazywa się wzorem Thomsona. Rozwiązanie równania oraz natężenie prądu można przedstawić jako:

${\displaystyle q(t)=q_{m}\cos(\omega t+\phi ),}$

${\displaystyle i(t)=-\omega q_{m}\sin(\omega t+\phi ),}$

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}},}$

${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

Obwód LC wykonuje drgania swobodne z częstotliwością rezonansową określoną przez wzór Thomsona,

gdzie:

${\displaystyle q}$ – ładunek na kondensatorze,

${\displaystyle L}$ – indukcyjność cewki,

${\displaystyle C}$ – pojemność kondensatora,

${\displaystyle q_{m}=\varepsilon C}$ – maksymalny ładunek na kondensatorze,

${\displaystyle \varepsilon }$ – różnica potencjałów między zaciskami źródła,

${\displaystyle L}$ – indukcyjność cewki,

${\displaystyle C}$ – pojemność kondensatora,

${\displaystyle \omega }$ – częstość kołowa w radianach/sekundę,

${\displaystyle f}$ – częstotliwość obwodu w hercach.

Kondensator nienaładowany

W tym przypadku równanie opisujące stan obwodu wygląda następująco:

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}q={\frac {\varepsilon }{L}}.}$

Rozwiązanie równania oraz natężenie prądu można przedstawić jako:

${\displaystyle q(t)=q_{m}[1-\cos(\omega t+\phi )],}$

${\displaystyle i(t)=\omega q_{m}\sin(\omega t+\phi ),}$

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}},}$

${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}},}$

gdzie:

${\displaystyle q}$ – ładunek na kondensatorze,

${\displaystyle L}$ – indukcyjność cewki,

${\displaystyle C}$ – pojemność kondensatora,

${\displaystyle q_{m}=\varepsilon C}$ – maksymalny ładunek na kondensatorze,

${\displaystyle \varepsilon }$ – różnica potencjałów między zaciskami źródła,

${\displaystyle L}$ – indukcyjność cewki,

${\displaystyle C}$ – pojemność kondensatora,

${\displaystyle \omega }$ – częstość kołowa w radianach/sekundę,

${\displaystyle f}$ – częstotliwość obwodu w hercach.

Obwód LC w obwodach prądu przemiennego

Obwód elektryczny złożony z pojemności i indukcyjności może być elementem obwodu prądu przemiennego. Elementy te mogą być połączone szeregowo lub równolegle. W stanie ustalonym w obwodzie płynie prąd o częstotliwości równej częstotliwości pobudzania.

Rezonans napięć

Impedancja zastępcza Z obwodu szeregowego złożonego z cewki i kondensatora wynosi:

${\displaystyle Z=jX_{L}-jX_{C}=j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle j}$ – jednostka urojona^[a],

${\displaystyle X_{L}}$ – reaktancja cewki (induktancja),

${\displaystyle X_{C}}$ – reaktancja kondensatora (kapacytancja),

${\displaystyle Z}$ – impedancja wypadkowa.

Impedancja szeregowego obwodu LC jest równa zero, gdy reaktancje cewki ${\displaystyle X_{L}}$ i kondensatora ${\displaystyle X_{C}}$ są sobie równe co do wartości bezwzględnej^[b]. Dla danej pojemności i indukcyjności warunek ten jest spełniony dla częstotliwości równej częstotliwości drgań swobodnych obwodu LC, częstotliwość ta nazywana jest częstotliwością rezonansową.

Gdy cewka i kondensator połączone są szeregowo i zasilane prądem przemiennym ${\displaystyle I,}$ to w elementach tych występuje spadek napięcia: ${\displaystyle U_{C}}$ na kondensatorze, a ${\displaystyle U_{L}}$ na cewce. Ponieważ przesunięcia faz napięcia względem prądu są w cewce i kondensatorze przeciwne, to napięcie wypadkowe jest różnicą napięć na cewce i kondensatorze, a w stanie rezonansu teoretycznie napięcia te zniosą się zupełnie. W szeregowym obwodzie rezonansowym dla częstotliwości rezonansowej, pomimo tego, że na obwodzie napięcie jest równe 0, to napięcie na cewce i na kondensatorze są różne od zera i mogą osiągać bardzo duże wartości.

Rezonans prądów

Rezonans prądów następuje wtedy, gdy susceptancja układu jest równa zero. Susceptancje poszczególnych gałęzi obwodu (susceptancja pojemnościowa i susceptancja indukcyjna) są sobie równe: ${\displaystyle B_{L}=B_{C}.}$

Gdy układ taki zasilany jest napięciem zmiennym ${\displaystyle U,}$ to popłyną przez elementy prądy: ${\displaystyle I_{C}}$ przez kondensator, a ${\displaystyle I_{L}}$ przez cewkę. Ponieważ prądy te mają przeciwne fazy, to znoszą się wzajemnie i sumaryczny prąd ${\displaystyle I}$ jest mniejszy od sumy prądów ${\displaystyle I_{C}}$ i ${\displaystyle I_{L}.}$ Dla pewnej częstotliwości, gdy prąd cewki równa się prądowi kondensatora prądy te zniosą się zupełnie i prąd ${\displaystyle I}$ będzie równy zeru – zachodzi rezonans prądów, a obwód rezonansowy przestaje pobierać prąd ze źródła – staje się przerwą w obwodzie, czyli ma nieskończenie dużą oporność (prądy w rzeczywistym kondensatorze i cewce nie są jednak równe zeru i mogą osiągać duże wartości).

Zobacz też

• dobroć

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Stanisław Bolkowski: Teoria obwodów Elektrycznych. Wyd. IV. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, s. 150–157. ISBN 83-204-1841-0.