Metoda Eulera-Maruyamy

Metoda Eulera-Maruyamy – metoda numerycznego rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych. Nazwa metody pochodzi od nazwiska japońskiego matematyka Gisiro Maruyamy (1916-1986), który rozszerzył metodę Eulera z 1768, stosowaną do numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Metoda ta jest jedną z niewielu metod numerycznych, które pozwalają metody numeryczne stosowane do równań deterministycznych rozszerzyć do równań stochastycznych[1].

Opis metody

Równanie stochastyczne

Niech dane będzie stochastyczne równanie różniczkowe postaci

d X t = a ( X t ) d t + b ( X t ) d W t {\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t})\,\mathrm {d} t+b(X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}

oraz

X T i n i t = x 0 {\displaystyle X_{T_{init}}=x_{0}} – zadany warunek początkowy (położenie cząstki w chwili początkowej T i n i t {\displaystyle T_{\mathrm {init} }} ),

gdzie:

W t {\displaystyle W_{t}} – proces Wienera,
a ( X t ) , b ( X t ) {\displaystyle a(X_{t}),b(X_{t})} – zadane funkcje procesu losowego X t . {\displaystyle X_{t}.}

Poszukiwane jest rozwiązanie tego równania na przedziale [ T i n i t , T e n d ] . {\textstyle [T_{init},T_{end}].}

Analiza równania stochastycznego

O stochastycznym charakterze powyższego równania decyduje różniczka procesu losowego Wienera: gdyby była równa zeru, to proces byłby deterministyczny. Funkcja b , {\displaystyle b,} stojąca przed tą różniczka, pełni zaś rolę wzmacniania lub osłabiania efektu fluktuacji losowych.

Z drugiej strony, funkcja a , {\displaystyle a,} stojąca przed różniczką d t , {\displaystyle dt,} decyduje, na ile proces deterministyczny dominuje nad procesem losowym – gdyby funkcja ta była zerowa, to proces byłby czysto losowy.

Powyższe własności łatwo sprawdzić, rozwiązując podane dalej przykładowe równanie stochastyczne, zmieniając odpowiednio jego parametry.

Przybliżenie Eulera-Maruyamy

Przybliżeniem Eulera-Maruyamy dokładnego rozwiązania X t {\displaystyle X_{t}} powyższego równania jest łańcuch Markowa Y n {\displaystyle Y_{n}} taki że:

  • zdarzenia losowe łańcucha Y n , {\displaystyle Y_{n},} n = 0 , 1 , 2 , … , N , {\displaystyle n=0,1,2,\dots ,N,} zachodzą w dyskretnych chwilach czasu T i n i t = τ 0 < τ 1 < … < τ N = T e n d , {\displaystyle T_{\mathrm {init} }=\tau _{0}<\tau _{1}<\ldots <\tau _{N}=T_{\mathrm {end} },}

odległych od siebie o wartość skokową

Δ t = ( T e n d − T i n i t ) / N , {\displaystyle \Delta t=(T_{\mathrm {end} }-T_{\mathrm {init} })/N,}
  • Y 0 = x 0 {\displaystyle Y_{0}=x_{0}} – zadane zdarzenie początkowe,
  • Y n + 1 , {\displaystyle Y_{n+1},} n = 0 , 1 , 2 , … , N − 1 {\displaystyle n=0,1,2,\dots ,N-1} – zdarzenia obliczane wzorem rekurencyjnym:
Y n + 1 = Y n + a ( Y n ) Δ t + b ( Y n ) Δ W n , {\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n})\,\Delta t+b(Y_{n})\,\Delta W_{n},}

przy czym:

Δ W n = W n + 1 − W n , {\displaystyle \Delta W_{n}=W_{n+1}-W_{n},}
a ( Y n ) , b ( Y n ) {\displaystyle a(Y_{n}),b(Y_{n})} – zadane funkcje Y n . {\displaystyle Y_{n}.}

Dowodzi się, że zmienne losowe Δ W n {\displaystyle \Delta W_{n}} jako różnice zmiennych losowych o rozkładzie normalnym (proces Wienera) są niezależne oraz mają rozkład normalny o wartości oczekiwanej zero i wariancji Δ t . {\displaystyle \Delta t.}

Przykład: Równanie Ornsteina-Uhlenbecka

Cztery losowe trajektorie procesu Ornsteina-Uhlenbecka dla θ = 1, σ =  2 : {\displaystyle {\sqrt {2}}{:}}
niebieska: położenie początkowe a = 10, μ = 0
pomarańczowa: położenie początkowe a = 0, μ = 0
zielona: położenie początkowe a = −10, μ = 0
czerwona: położenie początkowe a = 0, μ = −10
E(X) określa trajektorię, po której poruszałby się układ, gdyby czynniki losowe były zerowe (σ = 0).

Równanie stochastyczne

Niech dane będzie stochastyczne równanie różniczkowe jednej zmiennej X t {\displaystyle X_{t}}

d X t = θ ⋅ ( μ − X t ) d t + σ ⋅ d W t , {\displaystyle dX_{t}=\theta \cdot (\mu -X_{t})dt+\sigma \cdot dW_{t},}

o warunku początkowym

X 0 = 0 , {\displaystyle X_{0}=0,}

gdzie θ , μ , σ {\displaystyle \theta ,\mu ,\sigma } – stałe parametry; różniczka d W t {\displaystyle dW_{t}} odpowiada za proces losowy Wienera.

Powyższe równanie opisuje tzw. proces Ornsteina-Uhlenbecka.

Zamiana na postać dyskretna

Zgodnie z metodą Eulera-Maruyamy zamienia się to równanie na postać dyskretną

Δ Y n = θ ⋅ ( μ − Y n ) ⋅ Δ t + σ ⋅ Δ W n . {\displaystyle \Delta Y_{n}=\theta \cdot (\mu -Y_{n})\cdot \,\Delta t+\sigma \cdot \Delta W_{n}.}

Ponieważ Δ Y n = Y n + 1 − Y n , {\displaystyle \Delta Y_{n}=Y_{n+1}-Y_{n},} to otrzymuje się równania rekurencyjne

Y n + 1 = Y n + θ ⋅ ( μ − Y n ) ⋅ Δ t + σ ⋅ Δ W n , n = 1 , 2 , … , N , {\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}+\theta \cdot (\mu -Y_{n})\cdot \,\Delta t+\sigma \cdot \Delta W_{n},\qquad n=1,2,\dots ,N,}

gdzie Δ W n {\displaystyle \Delta W_{n}} – zmienne losowe o rozkładzie normalnym i wariancji Δ t . {\displaystyle \Delta t.}

Warunek początkowy przyjmie postać:

Y 0 = 0. {\displaystyle Y_{0}=0.}

Analiza zależność ruchu układu od parametrów równania

Zmieniając parametry równania stochastycznego, można otrzymać ruchu układu w zależności od różnych warunków otoczenia, z jakim układ oddziałuje. Np.

  • przyjmując wartość parametru σ = 0 , {\displaystyle \sigma =0,} otrzyma się ruch czysto deterministyczny,
  • przyjmując wartość parametru θ = 0 , {\displaystyle \theta =0,} otrzyma się ruch czysto losowy,
  • parametr μ {\displaystyle \mu } określa położenie, do którego zmierza układ po dłuższym czasie, jeżeli czynniki losowe nie są zbyt duże, tj. dla odpowiednio małej wartości σ ; {\displaystyle \sigma ;} na rysunku pokazano cztery trajektorie układu w takich warunkach; mimo różnych wartości położeń początkowych układu (na rys. oznaczonych literą a), układ zmierza po pewnym czasie do położenia X = μ . {\displaystyle X=\mu .} Przykładem jest ruch wahadła poddanego działaniu losowego oddziaływania od otoczenia i jednocześnie tłumionego – niezależnie od położenia początkowego wahadło przyjmie ostatecznie najniższe położenie.

Kod programu

Poniżej podano przykład kodu w języku Python, całkujący równanie Ornsteina-Uhlenbecka. Program można testować, korzystając np. z darmowego notatnika colab google online.

Na ilustracji pokazano wynik symulacji komputerowej dla przyjętych w programie wartości parametrów.

Pięć przykładowych rozwiązań stochastycznego równania różniczkowego opisującego proces Ornsteina-Uhlenbecka, znalezionych numerycznie za pomocą metody Eulera-Maruyamy dla θ = 0.7, σ = 0.06, μ = 1.4 i identycznych położeń początkowych X= 0; na osi pionowej jest położenie układu, na osi poziomej czas. Każde rozwiązanie przedstawia możliwą, losowo przebiegającą trajektorią układu, która dla dłuższych czasów oscyluje wokół punktu X=μ =1.4
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#Dane:
liczba_symulacji = 5
t_0 = 0    # chwila początkowa
t_1 = 7    # chwila końcowa
N   = 200  # liczba punktów podziału przedziału

theta  = 0.7
mu     = 1.4
sigma  = 0.06

#Definicja funkcji, która generuje liczbę losową przy każdym wywołaniu
def DW(Dt): 
    return np.random.normal(loc = 0.0, scale = np.sqrt(Dt))

# Część główna programu
Dt   = (t_1 - t_0) / N
t    = np.arange(t_0, t_1, Dt) # tablica dyskretnych chwil czasu
Y    = np.zeros(N)             # tablica dyskretnych położeń cząstki

for _ in range(liczba_symulacji):
    Y[0] = 0
    for i in range(0, N-1):
        Y[i+1]=Y[i] + theta*(mu -Y[i])*Dt +sigma*DW(Dt)
    plt.plot(t, Y)

plt.grid(True)  # Dodanie siatki do wykresu
plt.show()

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ P.E. Kloeden, E. Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer, 1992. ISBN 3-540-54062-8.

Bibliografia

  • PaoloP. Brandimarte PaoloP., Numerical Methods in Finance: A Matlab Introduction, New York: Wiley, 2002, ISBN 0-471-39686-9, OCLC 47092043 .
  • P. Jackel, Monte Carlo Methods in Finance, Wiley, 2002, ISBN 0-471-49741-X.