Cysoida Dioklesa

Cysoida^[a] Dioklesa^[b] – krzywa opisana równaniem:

${\displaystyle y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}}$^[1]

Konstrukcja krzywej

Cysoida Dioklesa jest miejscem geometrycznym punktów ${\displaystyle A,}$ takich że ${\displaystyle OA=BC}$ i punkty ${\displaystyle O,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ leżą na jednej prostej oraz^[1]

• ${\displaystyle O}$ jest środkiem układu współrzędnych – (0, 0),
• ${\displaystyle B}$ jest punktem przecięcia tej prostej i okręgu o promieniu ${\displaystyle a}$ i środku we współrzędnych (${\displaystyle a,}$0),
• ${\displaystyle C}$ jest punktem przecięcia tej prostej i prostej o równaniu ${\displaystyle x=2a.}$

Cysoida Dioklesa jest więc cysoidą okręgu o promieniu ${\displaystyle a}$ i prostej stycznej do tego okręgu.

Postacie równania krzywej

W układzie współrzędnych biegunowych równanie ma postać:

${\displaystyle \rho =2a(\sec \theta -\cos \theta )}$

lub^[2]:

${\displaystyle \rho =2a{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }},}$

gdzie ${\displaystyle \theta \in (-\pi /2,\pi /2).}$

Równania te można zapisać w postaci parametrycznej:

${\displaystyle y=2a\left(\operatorname {tg} \theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right),}$

${\displaystyle x=2a\sin ^{2}\theta ,}$

lub

${\displaystyle x={\frac {2at^{2}}{1+t^{2}}},}$

${\displaystyle y={\frac {2at^{3}}{1+t^{2}}}.}$

Podwojenie sześcianu

Cysoida ta pozwoliła Dioklesowi na rozwiązanie problemu podwojenia sześcianu i w tym właśnie celu została przez niego skonstruowana.

Zobacz też

• lista krzywych

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cissoid of Diocles, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).