Wortelgemiddelde

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of höldergemiddelde, genoemd naar Otto Hölder, is een centrummaat. Het wortelgemiddelde met macht p {\displaystyle p} van een rijtje van n {\displaystyle n} getallen wordt als volgt berekend: verhef alle getallen tot de macht p {\displaystyle p} , bepaal het rekenkundige gemiddelde van deze p {\displaystyle p} -de machten en neem uit dit gemiddelde de p-de-machtswortel. Behalve het rekenkundige gemiddelde ( p = 1 {\displaystyle p=1} ) zijn ook het meetkundig gemiddelde ( p = 0 {\displaystyle p=0} ), het kwadratische gemiddelde ( p = 2 {\displaystyle p=2} ) en het harmonische gemiddelde ( p = − 1 {\displaystyle p=-1} ) wortelgemiddelden.

Het rijtje getallen waar het om gaat is op te vatten als een vector. In een coördinatenruimte in n {\displaystyle n} dimensies, dat kan een reële of een complexe coördinatenruimte zijn, bepaalt het wortelgemiddelde van de absolute waarden van de coördinaten van deze vector voor p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} een norm voor die vector. Lp-ruimten zijn zo gedefinieerd.

Definitie

Voor het reële getal p ≠ 0 {\displaystyle p\neq 0} is het p {\displaystyle p} -de-machtswortelgemiddelde van de getallen a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}} gedefinieerd. De getallen mogen niet negatief zijn.

W p ( a 1 , a 2 , … , a n ) = ( ∑ k = 1 n a k p n ) 1 / p = ( a 1 p + a 2 p + ⋯ + a n p n ) 1 / p {\displaystyle W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}{n}}\right)^{1/p}=\left({\frac {a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}\right)^{1/p}} .

Hoewel het voorschrift van sommige gemiddelden niet meteen hetzelfde is, worden zij toch als wortelgemiddelde gerekend. Deze wortelgemiddelden zijn in de limiet voor p → 0 ,   p → − ∞ {\displaystyle p\to 0,\ p\to -\infty } en p → ∞ {\displaystyle p\to \infty } gedefinieerd:

W 0 ( a 1 , a 2 , … , a n ) = a 1 a 2 … a n n {\displaystyle W_{0}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}} , het meetkundige gemiddelde
W − ∞ ( a 1 , a 2 , … , a n ) = min { a 1 , a 2 , … , a n } {\displaystyle W_{-\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\min\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}} , het minimum
W ∞ ( a 1 , a 2 , … , a n ) = max { a 1 , a 2 , … , a n } {\displaystyle W_{\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\max\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}} , het maximum

Voorbeelden

  • p = 1 {\displaystyle p=1} geeft het rekenkundige gemiddelde: W 1 = a 1 + a 2 + ⋯ + a n n {\displaystyle W_{1}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}
  • p = 2 {\displaystyle p=2} geeft het kwadratische gemiddelde: W 2 = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 n {\displaystyle W_{2}={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}
  • p = − 1 {\displaystyle p=-1} geeft het harmonische gemiddelde: W − 1 = n 1 a 1 + 1 a 2 + … + 1 a n {\displaystyle W_{-1}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}

Eigenschappen

  • Het wortelgemiddelde is homogeen, dat wil zeggen dat voor λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} geldt:
W p ( λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n ) = λ W p ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle W_{p}(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\ldots ,\lambda a_{n})=\lambda W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}
  • De berekening van een wortelgemiddelde kan in blokken van gelijke grootte worden opgesplitst:
W p ( a 1 , a 2 , … , a m k ) = W p ( W p ( a 1 , … , a k ) , W p ( a k + 1 , … , a 2 k ) , … , W p ( a ( m − 1 ) k + 1 , … , x m k ) ) {\displaystyle W_{p}(a_{1},\,a_{2},\ldots ,a_{mk})=W_{p}(W_{p}(a_{1},\ldots ,a_{k}),W_{p}(a_{k+1},\ldots ,a_{2k}),\ldots ,W_{p}(a_{(m-1)k+1},\ldots ,x_{mk}))}
  • Algemeen geldt voor − ∞ ≤ s ≤ t ≤ ∞ {\displaystyle -\infty \leq s\leq t\leq \infty } :
W s ( a 1 , a 2 , … , a n ) ≤ W t ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle W_{s}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\leq W_{t}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}
  • Het wortelgemiddelde van n {\displaystyle n} dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:
W p ( a , a , … , a ) = a {\displaystyle W_{p}(a,a,\ldots ,a)=a}
  • Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.
s ≠ t ∧ W s ( a 1 , a 2 , … , a n ) = W t ( a 1 , a 2 , … , a n ) ⟹ a 1 = a 2 = … = a n {\displaystyle s\neq t\land W_{s}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=W_{t}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\implies a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}}

Bewijzen voor de limietgevallen

W0 

Het wortelgemiddelde W 0 {\displaystyle W_{0}} is de limiet van W p {\displaystyle W_{p}} voor p → 0 {\displaystyle p\to 0} . Immers:

W p ( a 1 , … , a n ) = exp ⁡ ( ln ⁡ ( 1 n ∑ k = 1 n a k p ) 1 / p ) = exp ⁡ ( ln ⁡ ( ∑ k = 1 n a k p ) − ln ⁡ n p ) {\displaystyle W_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\exp {\left(\ln {\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{1/p}}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)}-\ln n}{p}}\right)}}

Voor de exponent geldt volgens de regel van l'Hôpital:

lim p → 0 ln ⁡ ( ∑ k = 1 n a k p ) − ln ⁡ n p = lim p → 0 ∑ k = 1 n a k p ln ⁡ a k ∑ k = 1 n a k p = 1 n ∑ k = 1 n ln ⁡ a k = ln ⁡ ( ( a 1 a 2 … a n ) 1 / n ) {\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)-\ln n}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\ln {a_{k}}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln {a_{k}}=\ln \left((a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{1/n}\right)}

Omdat de exponentiële functie een continue functie is, volgt:

lim p → 0 W p ( a 1 , a 2 , … , a n ) = exp ⁡ ln ⁡ ( ( a 1 a 2 … a n ) 1 / n ) = ( a 1 a 2 … a n ) 1 / n = W 0 ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle \lim _{p\to 0}W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\exp {\ln \left((a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{1/n}\right)}=(a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{1/n}=W_{0}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}
W−∞ 

Het wortelgemiddelde W − ∞ {\displaystyle W_{-\infty }} is de limiet van W p {\displaystyle W_{p}} voor p → − ∞ {\displaystyle p\to -\infty } .

Dit is een direct gevolg van de betrekking:

W − ∞ ( a 1 , a 2 , … , a n ) = 1 W ∞ ( 1 / a 1 , 1 / a 2 , … , 1 / a n ) {\displaystyle W_{-\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\frac {1}{W_{\infty }(1/a_{1},1/a_{2},\ldots ,1/a_{n})}}}
W∞ 

Het wortelgemiddelde W ∞ {\displaystyle W_{\infty }} is de limiet van W p {\displaystyle W_{p}} voor p → ∞ {\displaystyle p\to \infty } . Immers:

Laat a = max { a 1 , a 2 , … , a n } {\displaystyle a=\max\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}} , dan is:

lim p → ∞ W p ( a 1 , a 2 , … , a n ) = lim p → ∞ ( 1 n ∑ k = 1 n a k p ) 1 / p = a lim p → ∞ ( 1 n ∑ k = 1 n ( a k a ) p ) 1 / p = a = W ∞ ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle \lim _{p\to \infty }W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{1/p}=a\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {a_{k}}{a}}\right)^{p}\right)^{1/p}=a=W_{\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}

Websites