Lemniscaat van Gerono

Grafiek van de lemniscaat van Gerono, a = 1.

De lemniscaat van Gerono (lemniscaat is Grieks voor bloemenslinger) is een algebraïsche kromme, die de vorm van een striklijn of lemniscaat heeft: ∞ {\displaystyle \infty } . Ze werd grondig bestudeerd door de Franse wiskundige Camille-Christophe Gerono (1799-1891).

De Cartesiaanse vergelijking is x 4 = a 2 ( x 2 − y 2 ) {\displaystyle x^{4}=a^{2}(x^{2}-y^{2})} of a y = ± x a 2 − x 2 {\displaystyle \quad ay=\pm x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,}

De parametervergelijking van de curve is: { x = a sin ⁡ t y = a sin ⁡ t cos ⁡ t ( cos ⁡ t = tan ⁡ θ ) {\displaystyle {\begin{cases}x=a\sin t\\y=a\sin t\cos t\end{cases}}\quad (\cos t=\tan \theta )\,} .

In poolcoördinaten: r 2 = a 2 sec 4 ⁡ θ cos ⁡ ( 2 θ ) {\displaystyle r^{2}=a^{2}\sec ^{4}\theta \cos(2\theta )}

De oppervlakte die de kromme omsluit is gelijk aan: 4 a 2 3 {\displaystyle {\frac {4a^{2}}{3}}\,} .

Externe links

Mediabestanden
Zie de categorie Lemniscate of Gerono van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.
  • Eric W. Weisstein: "Eight Curve", in Wolfram MathWorld