Tor関手

ホモロジー代数において、Tor 関手 (英: Tor functor, torsion functor) はテンソル積の関手の導来関手である。それらは最初一般に代数トポロジーにおいてKünnethの定理（英語版）と普遍係数定理を表現するために定義された[要出典]。

特に R を環とし、R-Mod で左 R-加群の圏を、Mod-R で右 R-加群の圏を表す[注釈 1]。R-Mod の加群 B をひとつ選んで固定する。Mod-R の対象 A に対し、T(A) = A⊗RB とおく。すると T は Mod-R からアーベル群の圏 Ab への右完全関手である[注釈 2]。そして、その左導来関手 LnT が定義される。

T o r n R ( A , B ) = ( L n T ) ( A ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}

とおく。すなわち、射影分解

⋯ ⟶ P 2 ⟶ d 2 P 1 ⟶ d 1 P 0 ⟶ ε A → 0 {\displaystyle \cdots \longrightarrow P_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}P_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}P_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}A\rightarrow 0}

をとり A の項を取り除き射影分解に B をテンソルして複体

⋯ ⟶ P 2 ⊗ R B ⟶ d 2 ⊗ 1 P 1 ⊗ R B ⟶ d 1 ⊗ 1 P 0 ⊗ R B ⟶ 0 {\displaystyle \cdots \longrightarrow P_{2}\otimes _{R}B{\overset {d_{2}\otimes 1}{\longrightarrow }}P_{1}\otimes _{R}B{\overset {d_{1}\otimes 1}{\longrightarrow }}P_{0}\otimes _{R}B\longrightarrow 0}

を得る[注釈 3]。そしてこの複体のホモロジーをとる。

性質

  • すべての n ≥ 1 に対して、TorR
    n     は Mod-R × R-Mod から Ab への加法的関手である。R が可換である場合には、Mod-R × Mod-R から Mod-R への加法的関手である。
  • 導来関手のすべての族に対して正しいように、すべての短完全列 0 → K → L → M → 0 は次の形の長完全列を誘導する。
⋯ → T o r 2 R ( M , B ) → T o r 1 R ( K , B ) → T o r 1 R ( L , B ) → T o r 1 R ( M , B ) → K ⊗ R B → L ⊗ R B → M ⊗ R B → 0. {\displaystyle \cdots \rightarrow \mathrm {Tor} _{2}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(K,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(L,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,B)\rightarrow K\otimes _{R}B\rightarrow L\otimes _{R}B\rightarrow M\otimes _{R}B\rightarrow 0.}
  • R が可換で r ∈ R が零因子でなければ、
T o r 1 R ( R / ( r ) , B ) = { b ∈ B : r b = 0 } {\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}}

であり[1]、ここから用語 Tor (すなわち Torsion) が来ている。捩れ部分群参照。

  • すべての n ≥ 2 に対して、TorZ
    n    (A, B) = 0 である[2]。理由：自由アーベル群の部分群は自由アーベル群なので、すべてのアーベル群 A は長さ1の自由分解をもつから。なのでこの重要な特別な場合には、n ≥ 2 の Tor 関手は消える。さらに、 f : A → A で"k 倍写像"を表すと TorZ
    1    (Z/kZ, A) = Ker(f) である。
  • さらに、すべての自由加群は長さ0の自由分解をもつので、上記の議論から、F が自由 R-加群であれば、すべての n ≥ 1 に対して TorR
    n    (F, B) = 0。
  • Tor 関手はフィルター余極限（英語版）と任意の直和を保つ。つまり、次の自然同型が存在する。
T o r n R ( ⨁ i A i , ⨁ j B j ) ≃ ⨁ i ⨁ j T o r n R ( A i , B j ) . {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}\left(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j}\right)\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j}).}
  • 有限生成アーベル群の分類から、すべての有限生成アーベル群は Z と Zk のコピーの直和であることを知っている。このことと前の3つから、A が有限生成であるときにはいつでも TorZ
    1    (A, B) を計算することができる。
  • 加群 M ∈ Mod-R が平坦であることと、TorR
    1    (M, – ) = 0 であることは同値である。このとき、すべての n ≥ 1 に対して TorR
    n    (M, – ) = 0 でさえある[3]。実は、TorR
    n    (A, B) を計算するには、射影分解の代わりに A あるいは B の平坦分解を使ってもよい[注釈 4]。

脚注

  1. ^ R が可換環であればふたつの圏は一致する。
  2. ^ R が可換なときは、Mod-R から Mod-R への右完全関手でもある。
  3. ^ A⊗RB は現れず最後の射は単に0写像であることに注意せよ。
  4. ^ 射影分解は自動的に平坦分解であるが逆は正しくないので平坦分解を許す方が柔軟であることに注意しよう。
  1. ^ Weibel 1994, p. 68, Example 3.1.8.
  2. ^ Weibel 1994, p. 66, Proposition 3.1.2(b).
  3. ^ Weibel 1994, p. 69, Exercise 3.2.1.

参考文献

  • Weibel, Charles A. (1994). An Introduction to Homological Algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1. MR1269324. Zbl 0797.18001. https://books.google.com/books?id=flm-dBXfZ_gC 

関連項目