論理和の消去

論理和の消去(ろんりわのしょうきょ、英: Disjunction elimination)(論理積の除去、選言削除則、${\displaystyle \lor }$-除去則^[1][2]は、命題論理における妥当性のある推論規則のひとつである。この規則を用いることによって、論理式の証明から論理和を削除することができる。もし命題「${\displaystyle P}$」から命題「${\displaystyle Q}$」が導き出され、かつ命題「${\displaystyle R}$」からも命題「${\displaystyle Q}$」が導き出されるとき、「${\displaystyle P}$もしくは${\displaystyle R}$」のいずれかが真である場合に、「${\displaystyle Q}$」が真となるという推論規則である。PもしくはRのうち少なくとも一方が正しく、QであるためにはPとRのうちどちらかが正しければよいから、Qは正しい、ということである。例えば、下記の例が挙げられる。

もし私が屋内にいれば、私は財布を持っている。

もし私が屋外にいれば、私は財布を持っている。

私は屋内にいるか、屋外にいるかのどちらかである。

したがって、私は財布を持っている。

この規則は、下記のように記述することができる。

${\displaystyle {\frac {P\to Q,R\to Q,P\lor R}{\therefore Q}}}$

ここで、命題「${\displaystyle P\to Q}$」、命題「${\displaystyle R\to Q}$」、命題「${\displaystyle P\lor R}$」が証明のなかのどの行に出てきても、その後の行において、 命題「${\displaystyle Q}$」を示すことができるものとされている。

形式的な記法

論理和の削除の推論規則は、シークエントの記法では、

${\displaystyle (P\to Q),(R\to Q),(P\lor R)\vdash Q}$

と表すことができる。ここで、「${\displaystyle \vdash }$」は、ある論理の形式体系において、命題「${\displaystyle Q}$」が、「${\displaystyle P\to Q}$」・「${\displaystyle R\to Q}$」・「${\displaystyle P\lor R}$」の論理的帰結であることを表す、メタ言語の記号である。

この推論規則はまた、命題論理における真理関数のトートロジーもしくは定理として、

${\displaystyle (((P\to Q)\land (R\to Q))\land (P\lor R))\to Q}$

と表される。

関連項目

• 論理和
• 選言標準形

参考文献