数学、とくにリーマン幾何学あるいは(局所)コンパクト群の調和解析において上半平面(じょうはんへいめん、英: upper half plane)は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。(開いた)上半平面を慣例的に H や H あるいは
と記す(このとき、下半平面は H− や H− などと書かれ、対比的に上半平面を H+ などと記すこともある)。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。
![{\displaystyle \mathbb {H} =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y>0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64ecb57680ce7ae7df9415a1466007eef9ac828)
または
![{\displaystyle {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}^{+}={\mathfrak {H}}_{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \Im \,z>0\}=\{x+yi\mid x,y\in \mathbb {R} ,\,y>0\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2058bff620ffeb0466f5ce703f50247da26df5f9)
![{\displaystyle {\bar {\mathfrak {H}}}={\mathfrak {H}}\cup \partial {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}^{+}\cup \mathbb {R} \cup \{\infty \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cad5a7647929336569b832f8190d711f4fd1416)
![{\displaystyle {\bar {\mathfrak {H}}}\cup {\mathfrak {H}}_{-}={\mathfrak {H}}_{+}\cup {\mathfrak {H}}_{-}\cup \mathbb {R} \cup \{\infty \}={\mbox{ Riemann sphere}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2c1eedbaf61b9318d1760a4ec0fcf0d1c9652e)
双曲モデル
ポワンカレの上半平面モデルと呼ばれる双曲幾何のユークリッド空間内での実現がある。このモデルでは、計量が
![{\displaystyle {\frac {d(z{\bar {z}})}{|\Im z|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c925704493628aa2c03b1ce6729ab23665769ec)
で与えられていて、実軸に近づくほどに空間が歪んでいる。双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」(測地線)は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周(直線も半径無限大であると見なして円に含める)である。上半平面を単位円板
![{\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \mid z{\bar {z}}<1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d5be27180ff15fb58a114b2121c75a37c971ff)
に写す正則な全単射
![{\displaystyle {\mathfrak {H}}\ni z\mapsto {\frac {z-i}{z+i}}\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764833fec32414dd85d0f2afa44887d5c4110a78)
![{\displaystyle D\ni w\mapsto {\frac {1+w}{1-w}}i\in {\mathfrak {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55cb33d5b5d98cd641c4cb55a7bd61be3d107d1)
が存在して、上半平面モデルは単位円板モデルと呼ばれる計量
![{\displaystyle {\frac {d(z{\bar {z}})}{(1-|z|)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77164485df1b33a7609d5118cd2e10ee531d0e65)
をもつ実現と互いにうつりあう。これは二つのモデルがリーマン面として解析的同型であることを意味している。これらの閉包もやはり解析同相となるので、閉上半平面はコンパクトリーマン面になる。
SL(2) の表現論
上半平面にリー群 GL(2, R) が
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}z:={\frac {az+b}{cz+d}}\quad {\text{ for }}z\in {\mathfrak {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad8e8ffdf279d30b122776b39ebcc321ec6e32c)
によって(計量を保って)作用する。H は同じ作用で SL(2) の作用を受ける。このとき、z = i の固定部分群は
![{\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\cos \,\theta \end{pmatrix}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c9e9d14a9b50ad802e945f4124c7868e8d11b0)
となるので、解析同相
![{\displaystyle {\mathfrak {H}}\simeq SL(2,\mathbb {R} )/SO(2,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd8cb93012b9fd72089b842d4012efa354fe5ac)
が成り立つ。さらに SL(2, Z) のような離散部分群(しばしば Γ で表される)の作用で H を割った空間(これも適当な仕方でリーマン面の構造を持つ)の上の微分形式は保型形式と呼ばれる数論的対象を定める。
関連項目