パウリ行列(パウリぎょうれつ、英: Pauli matrices)、パウリのスピン行列(パウリのスピンぎょうれつ、英: Pauli spin matrices)とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである[1][2]。σ(シグマ)で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された[3]。
![{\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97569b9f62aea14ab8f22785d721fe3732c71e8)
添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。
上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。
![{\displaystyle \sigma _{0}=I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87a26bcf2596adbb00bfd14eb19f1e6c54f75a0)
基本的な性質
パウリ行列は次の性質を満たす[1][2]。
エルミート性・ユニタリ性
パウリ行列は
![{\displaystyle {\sigma _{k}}^{\dagger }=\sigma _{k}\qquad (k=1,2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec885a9b759d2b53b6b764615facc99663b4070)
を満たすエルミート行列であり、
![{\displaystyle {\sigma _{k}}^{\dagger }\sigma _{k}=\sigma _{k}{\sigma _{k}}^{\dagger }=I\qquad (k=1,2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de569e57c1d6f1b8c6bfebda8b7971fddba5c8d)
を満たすユニタリ行列でもある。
パウリ行列の積
パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。
![{\displaystyle {\sigma _{1}}^{2}={\sigma _{2}}^{2}={\sigma _{3}}^{2}=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a831ff789aad041f9743e3c0517523037e6b6c48)
また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。
![{\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=-\sigma _{2}\sigma _{1}=i\sigma _{3},\quad \sigma _{2}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{2}=i\sigma _{1},\quad \sigma _{3}\sigma _{1}=-\sigma _{1}\sigma _{3}=i\sigma _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0c8fd85f99386dfa2077e0f5c4a8ba5ed8bd2d)
すなわち i, j, k = 1, 2, 3 について
![{\displaystyle {\begin{cases}{\sigma _{i}}^{2}&=I=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\sigma _{i}\sigma _{j}&=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (i\neq j)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d82aa693b77a81aba4701c3fc8cc0d59a06a49c)
が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ δij とエディントンのイプシロン εijk を用いれば、これらをまとめて
![{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}I+i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\qquad (i,j,k=1,2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca8fe9774ce7497edc15fa9f18d91f1e13bdb46)
と書くことができる。
交換関係・反交換関係
パウリ行列の交換関係と反交換関係は一般的に
![{\displaystyle {\begin{aligned}[][\sigma _{i},\sigma _{j}]&=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i}=2i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}I\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c536c86bb8c4559e443c93125a039dd1f958c92e)
となる。
交換関係 | 反交換関係 |
| |
固有値・固有ベクトル
それぞれのパウリ行列は、固有値 +1 と −1 を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&|\sigma _{1,+}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\qquad &|\sigma _{1,-}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\\&|\sigma _{2,+}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&&|\sigma _{2,-}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\&|\sigma _{3,+}\rangle ={}&&{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&&|\sigma _{3,-}\rangle ={}&&{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0a86673b9f5184cf6aced75b7f24b97766f86e)
である。
トレース・行列式
パウリ行列 σk (k = 1, 2, 3) のトレース (Tr) は 0 となり、行列式 (det) は −1 となる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} (\sigma _{k})&=0\\\det(\sigma _{k})&=-1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0963c70192c22b929fad488115a49fffe9c71ca6)
2次単位行列 σ0 = I を含めた場合、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} (\sigma _{0})&=2\\\det(\sigma _{0})&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedc31d496eacc08f108c9d0c5d3c169142c998e)
である。
単位行列を含めたパウリ行列 σμ (μ = 0, 1, 2, 3) について、
![{\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{\mu }\sigma _{\nu })=2\delta _{\mu \nu }\quad (\mu ,\nu =0,1,2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e88180484d148fd2a6b1d86bd7e88d3484a569c)
が成り立つ。よって、複素2次正方行列空間 Mat(2,C) において、単位行列を含めたパウリ行列はヒルベルト=シュミット内積(英語版) ⟨A, B⟩ = Tr(A†B) について、直交する。
複素行列の展開
複素2次正方行列空間 Mat(2,C) において、単位行列を含むパウリ行列は直交基底をなす[4]。よって、任意の複素2次行列 A は単位行列を含むパウリ行列 σμ (μ = 0, 1, 2, 3) の線形結合として、次の形で書ける。
![{\displaystyle A=s_{0}I+s_{1}\sigma _{1}+s_{2}\sigma _{2}+s_{3}\sigma _{3}=\textstyle \sum \limits _{\mu =0}^{3}s_{\mu }\sigma _{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab90c23dc381b41da252ca9bdd22e226da3561d)
ここで複素係数 sμ は
![{\displaystyle s_{\mu }={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} (A\sigma _{\mu })\quad (\mu =0,1,2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17dba9d1ee0e24b1ae5287af3bbb4c7f5fd9b0d9)
で与えられる。
また、任意の2次エルミート行列 A は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数 sμ は実数になる。
部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトル(英語版)と呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。
指数関数
パウリ行列の性質
![{\displaystyle {\sigma _{i}}^{2}=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c53c5ca570dc8e922ce2f9c1b2f4209c9574f8)
から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式
![{\displaystyle \exp(ia\sigma _{i})=I\cos a+i\sigma _{i}\sin a\quad (a\in \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ee53d57885066d521e24ca1478c1e9627b4332)
を満たす[5]。 さらに実ベクトル a→ = (a1, a2, a3) ∈ R3 とパウリ行列の組 σ→ = (σ1, σ2, σ3) に対し、
![{\displaystyle \exp(i{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=I\cos {|{\vec {a}}|}+i({\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {|{\vec {a}}|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e96f666396493ae6e0610f17575a6f4c8cf1b0b)
が成り立つ[2]。ただし、n→ は
![{\displaystyle {\vec {n}}={\frac {1}{|{\vec {a}}|}}(a_{1},a_{2},a_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c65938d59b52ecc88e34764408dd46d77afe09)
で与えられる単位ベクトルである。
a→ が実ベクトルの場合、exp(i a→⋅σ→) は2次特殊ユニタリ群 SU(2) の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた iσk (k = 1, 2, 3) が SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の基底であることによる。
SU(2)の生成子
パウリ行列は、行列式を 1 とする 2次ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群 SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の生成子である[1][5][6]。パウリ行列に −i/2 を乗じた
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&-i/2\\-i/2&0\end{bmatrix}}\\X_{2}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\1/2&0\end{bmatrix}}\\X_{3}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{3}={\begin{bmatrix}-i/2&0\\0&i/2\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161614f569dbd979833544ebfdf30b8fe79a0120)
は 𝔰𝔲(2) の基底であり、交換関係
![{\displaystyle [X_{1},X_{2}]=X_{3},\,[X_{2},X_{3}]=X_{1},\,[X_{3},X_{1}]=X_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3186e3b21b8c692a667846f822881a29568b69)
を満たす。𝔰𝔲(2) はトレースが 0 かつ反エルミート
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} (X)&=0\\X^{\dagger }&=-X\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259141a100e9a439cedc287bbc385468d5645651)
である元 X から構成されるが、X1, X2, X3 はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である SU(2) の任意の元は、リー環の指数写像によって、
![{\displaystyle \exp(\sum \limits _{k=1}^{3}t_{k}X_{k})\quad (t_{1},t_{2},t_{3}\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5a8c84871aa78f32de8bd6b6fbe88c737e0edc)
の形で与えることができる。
スピン角運動量
量子力学において、パウリ行列はスピン 1/2 の角運動量演算子の表現に現れる[1][2]。角運動量演算子 J1, J2, J3 は交換関係
![{\displaystyle [J_{1},J_{2}]=i\hbar J_{3},\,[J_{2},J_{3}]=i\hbar J_{1},\,[J_{3},J_{1}]=i\hbar J_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1aa15334391fc72c33852d6057978c3863c795)
を満たす。ただし、ℏ = h/2π はディラック定数である。エディントンのイプシロン εijk を用いれば、この関係式は
![{\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}J_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05f10b34ccd3d2eab2b389953c4e83f696a7337)
と表すことができる。ここで、
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\J_{2}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\\J_{3}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ea0f844a73d5d5ceec5218ae8a52bdd113a1c0)
を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。J1, J2, J3 の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は J3 を選び対角化している。J31/2 の固有値は +ℏ/2, −ℏ/2 であり、スピン 1/2 の状態を記述する。
ガンマ行列の表現
パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 σμ (μ= 0, 1, 2, 3) は反交換関係
![{\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb32524619447c2c69087140975fd4e13834d1e)
を満たすものとして定義される。ただし、I は単位元であり、gμν (μ, ν = 0, 1, 2, 3) は4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1, −1, −1, −1) である。このとき、2次単位行列 I2 とパウリ行列により、4次正方行列
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{bmatrix}},\,\gamma ^{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\end{bmatrix}}\quad (j=1,2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc43b1421d2ca0886cb155a3033b72049adcadf)
を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4次正方行列表現である。
![{\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma _{3}\otimes I_{2},\,\gamma ^{j}=i\sigma _{2}\otimes \sigma _{j}\quad (j=1,2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aeb96d2eb0b1c217f6bd28d32dd434c120e0af)
順時固有ローレンツ群とSL(2,C)
パウリ行列は順時固有ローレンツ群 L↑+ とその普遍被覆群である2次特殊線形群 SL(2, C) を対応づけるのに用いられる[7][8]。ローレンツ群 L = O(3, 1) は一般線形群 GL(4, R) の元 Λ で4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1 ,−1, −1, −1) (μ, ν = 0, 1, 2, 3) に対し、ΛTgΛ = g を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。
![{\displaystyle L=\{\Lambda \in GL(4,\mathbb {R} )|\,\Lambda ^{T}g\Lambda =g\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b319a0bbecf3a846cb27d9cb77414550c5b96a4)
一方、順時固有ローレンツ群 L↑+ = SO+(3, 1) はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から
![{\displaystyle L_{+}^{\uparrow }=\{\Lambda \in L|\,\Lambda _{00}\geq 1,\det {\Lambda }=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043cc7d05dccde72dd73431e5d105e8706c4bb9b)
として、定義される[9]。ここで4元ベクトル x = (x0, x1, x2, x3) に対し、パウリ行列 σ0 = I, σ→ = (σ1, σ2, σ3) により、2次正方行列
![{\displaystyle X=\textstyle \sum \limits _{\mu =0}^{3}\sigma _{\mu }x^{\mu }=x^{0}I+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}={\begin{bmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}+ix^{2}\\x^{1}-ix^{2}&x^{0}-x^{3}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed2cdfcb7fafdbdfae338af7579f0e1aa5baf51)
を導入する。その行列式は
![{\displaystyle \det X=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4861801374eeae6015f69304f5dc418f870e22c1)
であり、ミンコフスキー内積 ⟨x, x⟩ を与える。ここで SL(2, C) の元 A により、変換
![{\displaystyle X'=AXA^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ffe837a2ac171ca6a16ab78d8c861132ab27b0c)
を定義すると、
![{\displaystyle \det X'=\det X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f74c8e7d796d954a3ecbcdc5a84ce26bfa3061)
であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 Λ(A) を与える。さらに、±A は同じローレンツ変換 Λ(A) = Λ(−A) を与えることから、これは SL(2, C) から L↑+ への2対1の準同型写像を与える。その核は Z2 = {±1} であり、群の同型対応
![{\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )/\mathbb {Z} _{2}\cong L_{+}^{\uparrow }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ef8578da2791c5986c04fa6ea4c0fc954c9a45)
が成り立つ。
四元数の表現
パウリ行列により、四元数の2次正方行列表現を与えることができる。
![{\displaystyle e_{k}=-i\sigma _{k}\quad (k=1,2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c704e5da0c7c5bdac5575642fba595530af33cd0)
を導入すると、関係式
![{\displaystyle {e_{1}}^{2}={e_{2}}^{2}={e_{3}}^{2}=-I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4161d0c0cd9991d4145dc77a9eac879a77f6fc3b)
![{\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}=e_{3},\,e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2}=e_{1},\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3}=e_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e251ecc63255676d5c0fcd23bf6d4dfb13713351)
を満たす。これは四元数の基底元 i, j, k が満たす関係式
![{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9566181cae91477d93cefeacd3dbac7e85c751)
![{\displaystyle ij=-ji=k,\,jk=-kj=i,\,ki=-ik=j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6efb75a6623f771cf42a1125b0a82c0303ebacde)
と対応する。四元数環 H から複素行列環 Mat(2,C) へのR-線形写像
![{\displaystyle a1+bi+cj+dk\mapsto aI+be_{1}+ce_{2}+de_{3}\ \quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdbfefb15d9b8395e9f8d4ec4db9ff725d7a651a)
は和と積と保ち、四元数の2次正方行列表現を与える。この像は
![{\displaystyle M=\left\{{\begin{bmatrix}a-di&-(c+bi)\\c-bi&a+di\end{bmatrix}}\,{\Biggl |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\,{\Biggl |}\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe464acefd6624c2a2e8a731ac8f7b3deb23479)
であり、H と M は R-多元環として同型である。
脚注
- ^ a b c d 猪木、河合(1994)、第7章
- ^ a b c d J.J Sakurai and Jim Napolitano(2010), chapter 3
- ^ Pauli, W. (1927). “Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons”. Zeitschrift für Physik 43 (9): 601-623. doi:10.1007/BF01397326. ISSN 0044-3328.
- ^ 内積はヒルベルト=シュミット内積とする。
- ^ a b 平井、山下 (2003)、第4章
- ^ 佐藤 (1992)、第5章
- ^ 佐藤 (1992)、第8章
- ^ 平井、山下 (2003)、第5章
- ^ 相対論での慣習に従い、添え字は 0, 1, 2, 3 をとるものとする。
参考文献
- 猪木慶治、川合光『量子力学I』 講談社 (1994) ISBN 978-4061532090
- 佐藤光『物理数学特論 群と物理(パリティ物理学コース)』丸善 (1992) ISBN 978-4621037874
- 平井武、山下博『表現論入門セミナー ―具体例から最先端にむかって』遊星社 (2003) ISBN 978-4795268982
- J.J Sakurai and Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics (2nd edition), Addison Wesley (2010) ISBN 978-0805382914
関連項目