区間(0,1)においてトマエ関数をプロットしたもの トマエ関数とは、カール・ヨハネス・トメ(英語版) にちなんで名づけられた関数であり、ポップコーン関数、雨滴関数などの多くの別名を持ち、次のように定義される。
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/q&(x=p/q,\ x\in \mathbb {Q} \setminus \{0\},\ p\in \mathbb {Z} ,\ q\in \mathbb {N} ,\ \gcd(p,q)=1),\\1&(x=0),\\0&(x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff2d8bb87aefe857d3b776301083e91c59f5ff4)
この関数は各有理数において不連続である一方で、各無理数において連続である。このように不連続点が稠密で無限個あるにもかかわらず、(定義式の似ているディリクレの関数とは異なり)この関数は区間 [0, 1] 上でリーマン積分可能であることが示せる(
)。
参考文献
- Abbot, S. (2015). Understanding Analysis (Second ed.). Springer. ISBN 978-1-4939-2711-1
関連項目