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Il teorema di Glivenko-Cantelli dimostra che la funzione di ripartizione empirica di una variabile casuale unidimensionale converge, con probabilità 1 uniformemente in
, verso l'effettiva funzione di ripartizione.
Il teorema venne formulato nel 1933 da Valerij Ivanovič Glivenko e Francesco Paolo Cantelli.
Il teorema
Siano
variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite con funzione di ripartizione
.
Sia
la funzione di ripartizione empirica che approssima l'ignota
, dove il simbolo
indica la funzione indicatrice della variabile casuale
, definita come:
![{\displaystyle \mathbf {1} _{{X_{i}}\leq x}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ X_{i}\leq x\\0&{\mbox{se}}\ X_{i}>x\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dbb94cd7c72472689ba50a5248d79da978bb0b0)
Si definisce la massima deviazione della distribuzione empirica dalla variabile casuale che ne sta alla base come:
.
Allora la differenza dn converge con probabilità 1 verso zero.
![{\displaystyle P(\lim _{n\to \infty }d_{n}=0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12e3677080d1b9ec4f921cb46b0e4d7c7d3190e)
o, equivalentemente, la successione di funzioni
converge a
uniformemente con probabilità 1 per
.
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