Sottospazio affine

In matematica, un sottospazio affine è un sottoinsieme di uno spazio affine avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio affine. Esempi di sottospazi affini sono i punti, le rette e i piani nell'ordinario spazio euclideo tridimensionale.

I sottospazi affini si distinguono dai sottospazi vettoriali per il fatto che non sono forzati a passare per un punto fissato (l'origine dello spazio vettoriale). A differenza dei sottospazi vettoriali, i sottospazi affini possono quindi non intersecarsi ed essere ad esempio paralleli. Questa maggiore libertà ha però una controparte: per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann.

I sottospazi affini sono strettamente correlati ai sistemi lineari: l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è in effetti uno spazio affine.

Definizione

In uno spazio vettoriale

Un sottospazio affine di uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ è un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ del tipo

${\displaystyle S=p+W=\{p+w\ |\ w\in W\}}$

dove ${\displaystyle p}$ è un punto fissato di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ è un sottospazio vettoriale fissato di ${\displaystyle V}$. Si tratta in altre parole del sottospazio ${\displaystyle W}$ traslato del vettore ${\displaystyle p}$.

In uno spazio affine

La definizione all'interno di uno spazio affine è analoga. Sia ${\displaystyle A}$ uno spazio affine. Più precisamente, ${\displaystyle A}$ è dotato di uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ e di una funzione

${\displaystyle f:A\times V\to A}$

che viene solitamente indicata con il simbolo "+", quindi ${\displaystyle f(p,v)=p+v}$. Un sottospazio affine di ${\displaystyle A}$ è un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ del tipo

${\displaystyle S=p+W=\{p+w\ |\ w\in W\}.}$

La definizione appena data è più generale della precedente, perché ogni spazio vettoriale può essere considerato come spazio affine con ${\displaystyle A=V}$, in cui la funzione ${\displaystyle f}$ è l'usuale somma fra vettori.

Proprietà

In uno spazio affine ${\displaystyle A}$, dati due punti ${\displaystyle P,Q}$ di ${\displaystyle A}$ si indica con ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$ l'unico vettore in ${\displaystyle V}$ tale che

${\displaystyle P+{\overrightarrow {PQ}}=Q.}$

Giacitura

Lo stesso sottospazio può essere definito in varie forme diverse come ${\displaystyle S=p+W}$. In tutte queste rappresentazioni, il punto ${\displaystyle p}$ può variare (può essere un punto qualsiasi di ${\displaystyle S}$, a conferma che in geometria affine non ci sono "punti privilegiati"), ma ${\displaystyle W}$ risulta essere sempre lo stesso: questo sottospazio di ${\displaystyle V}$ è chiamato giacitura di ${\displaystyle S}$. La giacitura è infatti definita intrinsecamente come

${\displaystyle W=\{{\overrightarrow {PQ}}\ |\ P,Q\in S\}.}$

La dimensione di ${\displaystyle S}$ è definita come la dimensione di ${\displaystyle W}$. Quando la dimensione è 1 o 2 si parla di retta affine o piano affine. Quando la dimensione è pari alla dimensione di ${\displaystyle A}$ meno uno, si parla di iperpiano affine.

Sottospazio generato

Il sottospazio affine generato da un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ del piano affine ${\displaystyle A}$ è il più piccolo sottospazio che contiene ${\displaystyle S}$ (equivalentemente, è l'intersezione di tutti i sottospazi affini che contengono ${\displaystyle S}$). Viene indicato con ${\displaystyle L(S)}$.

Ad esempio, ${\displaystyle k}$ punti ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ in ${\displaystyle A}$ generano un sottospazio ${\displaystyle L(x_{1},\ldots ,x_{k})}$. In questo caso la dimensione del sottospazio è minore o uguale di ${\displaystyle k-1}$: quando è precisamente ${\displaystyle k-1}$ i punti sono detti affinemente indipendenti.

Esempi

Nello spazio euclideo tridimensionale

Retta affine

Sia

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\{(x,y,z)\ |\ x,y,z\in \mathbb {R} \}}$

lo spazio euclideo tridimensionale. Fissato un punto ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$, una retta affine passante per ${\displaystyle P_{0}}$ è l'insieme dei punti:

${\displaystyle r=\{P_{0}+tv\ |\ t\in \mathbb {R} \}}$

dove ${\displaystyle v=(v_{x},v_{y},v_{z})}$ è un vettore fissato, detto vettore direzione della retta. La giacitura è qui la retta

${\displaystyle W=\{tv\ |\ t\in \mathbb {R} \}={\rm {Span}}(v)}$

generata da ${\displaystyle v}$. La stessa retta affine ${\displaystyle r}$ può essere rappresentata sostituendo il vettore direzione ${\displaystyle v}$ con un qualsiasi suo multiplo ${\displaystyle kv}$ avente ${\displaystyle k\neq 0}$.

Piano affine

Analogamente, un piano affine passante per ${\displaystyle P_{0}}$ è del tipo:

${\displaystyle \pi =\{P_{0}+tv_{1}+sv_{2}\ |\ t,s\in \mathbb {R} \}}$

dove ${\displaystyle v_{1}}$ e ${\displaystyle v_{2}}$ sono due vettori linearmente indipendenti.

Soluzioni di sistemi lineari

Negli esempi precedenti, i sottospazi sono definiti tramite l'ausilio di parametri ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle s}$: le equazioni che li descrivono sono per questo dette parametriche. Un sottospazio affine in uno spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (o in un più generale spazio vettoriale ${\displaystyle K^{n}}$) è anche descrivibile in forma più implicita, come spazio di soluzioni di un sistema lineare. Vale cioè il fatto seguente:

Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare con ${\displaystyle n}$ incognite a coefficienti in ${\displaystyle K}$ è un sottospazio affine di ${\displaystyle K^{n}}$. D'altro canto, ogni sottospazio affine in ${\displaystyle K^{n}}$ è lo spazio di soluzioni di un sistema lineare.

Un sottospazio affine determinato come spazio di soluzioni di un sistema lineare è descritto in forma cartesiana. I coefficienti del sistema lineare formano una matrice, e la dimensione del sottospazio è collegata al rango di questa tramite il teorema di Rouché-Capelli.

Ad esempio, una singola equazione

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}=c}$

descrive un iperpiano in ${\displaystyle K^{n}}$. In particolare, questo è una retta nel piano se ${\displaystyle n=2}$ ed un piano nello spazio se ${\displaystyle n=3}$. Una retta nello spazio ${\displaystyle K^{3}}$ può essere descritta da due equazioni

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1},\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}.\end{cases}}}$

Equazioni parametriche e cartesiane

Come mostrato negli esempi precedenti, i sottospazi di uno spazio affine ${\displaystyle K^{n}}$ possono essere descritti in forma parametrica o cartesiana. Il passaggio da una rappresentazione all'altra può essere svolto nel modo seguente.

Da cartesiana a parametrica

Il passaggio da cartesiana a parametrica consiste nella risoluzione del sistema lineare. Questa può essere fatta tramite l'algoritmo di Gauss.

Da parametrica a cartesiana

Il passaggio da parametrica a cartesiana consiste nel determinare equazioni che descrivono il sottospazio. Questo può essere fatto scrivendo delle condizioni che un punto deve soddisfare per appartenere al sottospazio. Ad esempio, se ${\displaystyle S}$ è descritto come

${\displaystyle S=\{p+t_{1}w_{1}+\ldots t_{k}w_{k}\ |\ t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\}}$

dove i vettori ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k}}$ formano una base della giacitura ${\displaystyle W}$, un punto ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ appartiene a ${\displaystyle S}$ se e solo se il vettore

${\displaystyle {\overrightarrow {px}}=(x_{1}-p_{1},\ldots ,x_{n}-p_{n})}$

appartiene alla giacitura. Questo accade precisamente quando la matrice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}^{1}&\ldots &w_{k}^{1}&x_{1}-p_{1}\\\vdots &&\vdots &\vdots \\w_{1}^{n}&\ldots &w_{k}^{n}&x_{n}-p_{n}\end{pmatrix}}}$

avente come primi vettori colonna la base di ${\displaystyle W}$ ha rango pari a ${\displaystyle k}$. Quest'ultima condizione può essere espressa come l'annullamento dei determinanti di tutti i minori di ordine ${\displaystyle k+1}$. Ciascuno di questi determinanti fornisce una equazione lineare nelle variabili ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$; queste equazioni lineari insieme formano un sistema lineare che descrive il sottospazio in forma cartesiana.

Relazioni fra sottospazi

Due sottospazi affini sono detti:

• incidenti quando hanno intersezione non vuota,
• paralleli quando una delle due giaciture è contenuta nell'altra,
• sghembi quando l'intersezione è vuota e le due giaciture si intersecano solo nell'origine,
• esiste un altro caso che si presenta solo in spazi affini di dimensione 4 o superiore, ovvero quando i due sottospazi hanno intersezione vuota, nessuna delle due giaciture è contenuta nell'altra ma queste si intersecano in un sottospazio più grande dell'origine.

Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann: questo è il prezzo da pagare per aver liberato i sottospazi dalla costrizione di passare per un punto privilegiato. La geometria proiettiva risolve questo problema (cioè recupera la formula di Grasmann) aggiungendo allo spazio affine dei "punti all'infinito".

Esempi

Le relazioni di incidenza e parallelismo possono essere determinate con l'ausilio dell'algebra lineare. Ad esempio, due piani in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ descritti in forma cartesiana

${\displaystyle \pi :ax+by+cz+d=0,\,\!}$

${\displaystyle \pi ':a'x+b'y+c'z+d'=0.}$

sono paralleli precisamente quando la matrice dei coefficienti ha rango 1:

${\displaystyle rg{\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{vmatrix}}=1.}$

Altrimenti per il teorema di Rouché-Capelli i due piani si intersecano in una retta. Due piani nello spazio non possono quindi essere sghembi.

Discorso analogo è valido per due iperpiani in ${\displaystyle K^{n}}$ (ad esempio, due rette nel piano ${\displaystyle K^{2}}$). Due rette nello spazio ${\displaystyle K^{3}}$ possono però essere sghembe.

Formula di Grassmann

La formula di Grassmann è valida in geometria affine soltanto se gli spazi affini si intersecano. Quindi se due spazi affini ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle S'}$ hanno intersezione non vuota vale la formula

${\displaystyle \dim(L(S,S'))=\dim S+\dim S'-\dim S\cap S'\,\!}$

dove ${\displaystyle L(S,S')}$ è il sottospazio affine generato da ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle S'}$.

Bibliografia

• Edoardo Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1989, ISBN 978-88-339-5447-9
• (EN) Berger Marcel, Geometry I, Springer, Berlin, 1987, ISBN 3-540-11658-3
• (EN) Snapper Ernst, Troyer Robert J., Metric Affine Geometry, Dover Publications, New York, 1989, ISBN 0-486-66108-3

Voci correlate

• Geometria affine
• Spazio affine
• Fascio di piani
• Fascio di rette