Rombo (geometria)

Rombo

Il rombo o losanga[1] è un poligono di quattro lati, tutti della stessa lunghezza (congruenti).

Gli angoli del rombo non sono di solito congruenti; anche le sue diagonali hanno di solito lunghezza diversa, e sono denominate diagonale maggiore e diagonale minore. Il quadrato è un particolare tipo di rombo che ha tutti gli angoli congruenti, e le due diagonali congruenti.

Proprietà

Lati

I lati opposti di un rombo sono paralleli; esso è quindi un caso particolare di parallelogramma. Inoltre è un poligono equilatero, perché ha tutti i lati uguali.

Diagonali

Essendo un quadrilatero, anche il rombo ha due diagonali; esse hanno la caratteristica di essere perpendicolari fra loro e di intersecarsi nel loro punto medio. Ciascuna diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli, che sono congruenti. Le due diagonali costituiscono anche le bisettrici degli angoli.

Angoli

Gli angoli opposti sono congruenti, vale a dire hanno uguale ampiezza: quindi

A ^ = C ^ = α {\displaystyle {\hat {A}}={\hat {C}}=\alpha }
B ^ = D ^ = β {\displaystyle {\hat {B}}={\hat {D}}=\beta }

Due angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari, con somma quindi pari a 180°:

α + β = 180 ∘ . {\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }.}

Come in ogni quadrilatero, la somma degli angoli interni è sempre 360°.

Altezza del rombo

Le altezze di un rombo sono congruenti. L'altezza h {\displaystyle h} del rombo è pari al diametro della circonferenza inscritta al rombo o al rapporto tra l'area e un lato, che è preso come base:

h = 2 r = A a . {\displaystyle h=2r={\frac {A}{a}}.}

Perimetro del rombo

Se a {\displaystyle a} è il lato del rombo, il suo perimetro 2 p {\displaystyle 2p} è dato da:

2 p = a ⋅ 4. {\displaystyle 2p=a\cdot 4.}

Area del rombo

L'area del rombo si può calcolare in quattro modi:

  1. come per tutti i parallelogrammi, effettuando il prodotto della base a {\displaystyle a} , coincidente con un lato del rombo, per l'altezza h {\displaystyle h} :
    A = a ⋅ h , {\displaystyle A=a\cdot h,}
  2. moltiplicando la diagonale maggiore d 1 {\displaystyle d_{1}} per la diagonale minore d 2 {\displaystyle d_{2}} e dividendo il risultato per 2 {\displaystyle 2} [2]:
    A = d 1 ⋅ d 2 2 = A C ¯ ⋅ B D ¯ 2 , {\displaystyle A={{d_{1}\cdot d_{2}} \over {2}}={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}},}
  3. moltiplicando il semiperimetro p {\displaystyle p} per il raggio r {\displaystyle r} della circonferenza inscritta[3]:
    A = p ⋅ r , {\displaystyle A=p\cdot r,}
  4. infine, calcolando il quadrato del lato a {\displaystyle a} e moltiplicandolo per il seno di uno qualunque degli angoli interni[4]
    A = a 2 ⋅ sin ⁡ α = a 2 ⋅ sin ⁡ β . {\displaystyle A={a^{2}\cdot \sin \alpha }={a^{2}\cdot \sin \beta }.}
    In merito a questa quarta formula per il calcolo dell'area vanno notati alcuni punti:
    • sin ⁡ α {\displaystyle \sin \alpha } e sin ⁡ β {\displaystyle \sin \beta } sono uguali perché α {\displaystyle \alpha } e β {\displaystyle \beta } sono angoli supplementari: questo è il motivo per cui si può usare indifferentemente l'uno o l'altro;
    • il rombo produce la sua massima area quando i lati sono perpendicolari fra loro a formare un quadrato: in tal caso sin ⁡ α {\displaystyle \sin \alpha } e sin ⁡ β {\displaystyle \sin \beta } sono uguali a 1 {\displaystyle 1} e la formula si identifica con quella del quadrato ossia diventa
    A = a 2 ; {\displaystyle A={a^{2}};}
    • man mano che il rombo si schiaccia, sin ⁡ α {\displaystyle \sin \alpha } e sin ⁡ β {\displaystyle \sin \beta } diventano minori di 1 {\displaystyle 1} e quindi l'area del rombo diventa più piccola rispetto a quella del quadrato da cui si era partiti;
    • infine, schiacciando totalmente il rombo fino ad avere α = 0 {\displaystyle \alpha =0} e quindi sin ⁡ α = 0 {\displaystyle \sin \alpha =0} , la sua area diventa nulla.

Note

  1. ^ Rombo, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
  2. ^ La formula si giustifica considerando che l'area può essere ottenuta sommando le aree di due triangoli congruenti come ad esempio quello con vertici A {\displaystyle A} , D {\displaystyle D} e C {\displaystyle C} e quello con vertici A {\displaystyle A} , C {\displaystyle C} e B {\displaystyle B} . Considerando quest'ultimo si ha:
    A C ¯ ⋅ S B ¯ 2 = A C ¯ ⋅ B D ¯ / 2 2 = A C ¯ ⋅ B D ¯ 4 {\displaystyle {\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {SB}}}{2}}={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}/2}{2}}={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{4}}}
    Moltiplicando per 2 {\displaystyle 2} otteniamo la formula del punto 2.
  3. ^ La formula si giustifica considerando che il raggio r {\displaystyle r} è anche pari all'altezza rispetto ad a {\displaystyle a} di uno qualunque dei quattro triangoli che compongono il rombo. Considerando ad esempio il triangolo che ha per vertici A {\displaystyle A} , S {\displaystyle S} e B {\displaystyle B} osserviamo che la sua area è data da:
    a ⋅ r 2 {\displaystyle {\frac {a\cdot r}{2}}}
    Moltiplicando per 4 {\displaystyle 4} otteniamo la formula del punto 3:
    4 ⋅ a ⋅ r 2 = 2 ⋅ a ⋅ r = p ⋅ r {\displaystyle 4\cdot {\frac {a\cdot r}{2}}=2\cdot a\cdot r=p\cdot r} .
  4. ^ La formula si giustifica considerando che il prodotto a ⋅ sin ⁡ α {\displaystyle a\cdot \sin \alpha } coincide con l'altezza h {\displaystyle h} e quindi ricadiamo nella formula del punto 1:
    a 2 ⋅ sin ⁡ α = a ⋅ ( a ⋅ sin ⁡ α ) = a ⋅ h {\displaystyle {a^{2}\cdot \sin \alpha }=a\cdot (a\cdot \sin \alpha )=a\cdot h}

Bibliografia

  • Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Manuale di Geometria, Zanichelli, Bologna, terza edizione, 2008, ISBN 978-88-08-24822-0.

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